La fonction logarithme - Exercices The logarithm function - Exercises La función logaritmo - Ejercicios

a)

$24 = 2^3 \times 3$ donc $\ln 24 = \ln 2^3 + \ln 3$.

$A = 3\ln 2 + \ln 3$

b)

$\ln\dfrac{9}{16} = \ln 3^2 - \ln 2^4$.

$B = 2\ln 3 - 4\ln 2$

c)

$\ln\sqrt{12} = \dfrac{1}{2}\ln 12 = \dfrac{1}{2}(2\ln 2 + \ln 3)$.

$C = \ln 2 + \dfrac{1}{2}\ln 3$

d)

$2\ln 6 = 2\ln 2 + 2\ln 3$ ; $\ln 18 = \ln 2 + 2\ln 3$ ; $\ln\dfrac{1}{8} = -3\ln 2$.

$D = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 2 - 2\ln 3 - 3\ln 2 = -2\ln 2$

a)

$e^{\ln 5} = 5$ et $\ln\left(e^{-2}\right) = -2$.

$A = 3$

b)

$e^{2\ln 3} = e^{\ln 3^2} = 3^2$.

$B = 9$

c)

$\ln\left(e^3\right) = 3$ et $\ln\dfrac{1}{e} = -1$.

$C = 4$

d)

$e^{-\ln 4} = \dfrac{1}{e^{\ln 4}}$.

$D = \dfrac{1}{4}$

a)

$e^{2x - 1} = 3 \iff 2x - 1 = \ln 3 \iff x = \dfrac{1 + \ln 3}{2}$.

$S = \left\{\dfrac{1 + \ln 3}{2}\right\}$

b)

Condition : $x > 2$. $\ln(x - 2) = 1 \iff x - 2 = e \iff x = 2 + e$, qui vérifie $x > 2$.

$S = \{2 + e\}$

c)

Conditions : $2x + 1 > 0$ et $x + 4 > 0$, soit $x > -\dfrac{1}{2}$. Alors $2x + 1 = x + 4 \iff x = 3$.

$S = \{3\}$

d)

Avec $X = e^x > 0$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$, $\Delta = 1$, $X = 1$ ou $X = 2$. Donc $e^x = 1$ ou $e^x = 2$.

$S = \{0\,;\,\ln 2\}$

a)

La fonction $\ln$ est strictement croissante : $e^x > 5 \iff x > \ln 5$.

$S = \left]\ln 5\,;\,+\infty\right[$

b)

Pour $x > 0$ : $\ln x \leqslant 2 \iff x \leqslant e^2$.

$S = \left]0\,;\,e^2\right]$

c)

Condition : $x < 3$. $\ln(3 - x) > \ln 1 \iff 3 - x > 1 \iff x < 2$.

$S = \left]-\infty\,;\,2\right[$

d)

$e^{-x + 1} \geqslant e^0 \iff -x + 1 \geqslant 0 \iff x \leqslant 1$.

$S = \left]-\infty\,;\,1\right]$

a)

$n\ln 3 > \ln 10\,000 \iff n > \dfrac{\ln 10\,000}{\ln 3} \approx 8{,}38$ (car $\ln 3 > 0$).

$n = 9$

b)

$n\ln 0{,}9 < \ln 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \approx 43{,}7$ (on change le sens car $\ln 0{,}9 < 0$).

$n = 44$

c)

$0{,}75^n \leqslant 0{,}01 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}75} \approx 16{,}008$ (on change le sens car $\ln 0{,}75 < 0$).

$n = 17$

a)

$f'(x) = \dfrac{3}{x} - 2 = \dfrac{3 - 2x}{x}$

b)

$g'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \dfrac{1}{x}$

$g'(x) = x(2\ln x + 1)$

c)

$h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2}$

$h'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$

d)

$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 4 > 0$.

$k'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}$

e)

$m'(x) = 2e^{-x} + (2x + 1) \times (-e^{-x})$

$m'(x) = (1 - 2x)e^{-x}$

a)

Forme indéterminée ; $x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$ et $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$.

limite $= +\infty$

b)

$2\ln x \to -\infty$ et $-\dfrac{1}{x} \to -\infty$ : par somme,

limite $= -\infty$

c)

$\dfrac{3\ln x + 1}{x} = 3\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x} \to 0 + 0$.

limite $= 0$

d)

$(x + 2)e^x = x\,e^x + 2e^x$ ; $\lim x\,e^x = 0$ et $\lim e^x = 0$ en $-\infty$.

limite $= 0$

1)

En $0^+$ : $-2\ln x \to +\infty$ donc $f(x) \to +\infty$. En $+\infty$ : $f(x) = x\left(1 - 2\dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$.

$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

2)

$f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x - 2}{x}$ ; pour $x > 0$, son signe est celui de $x - 2$.

$f'(x) < 0$ sur $]0\,;\,2[$ et $f'(x) > 0$ sur $]2\,;\,+\infty[$

3)

$f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}61$.

4)

Le minimum de $f$ est $f(2) = 2 - 2\ln 2 = 2(1 - \ln 2)$, et $\ln 2 < 1$ car $2 < e$.

Pour tout $x > 0$, $f(x) \geqslant 2 - 2\ln 2 > 0$

1)

En $-\infty$ : $g(x) = x\,e^x - e^x \to 0 - 0$. En $+\infty$ : produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$.

$\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$

2)

$g'(x) = 1 \times e^x + (x - 1)e^x = x\,e^x$.

3)

$e^x > 0$ donc $g'(x)$ a le signe de $x$. $g(0) = -1$.

4)

$e^x \neq 0$ donc $g(x) = 0 \iff x - 1 = 0$.

$S = \{1\}$

1)

$T(0) = 20 + 70 = 90$ °C

2)

$T'(t) = 70 \times (-0{,}1)e^{-0{,}1t} = -7e^{-0{,}1t} < 0$.

$T$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$

3)

$\lim\limits_{t \to +\infty} e^{-0{,}1t} = 0$.

$\lim\limits_{t \to +\infty} T(t) = 20$ : le café tend vers la température de la pièce ($20$ °C)

4)

$20 + 70e^{-0{,}1t} = 50 \iff e^{-0{,}1t} = \dfrac{3}{7} \iff -0{,}1t = \ln\dfrac{3}{7} \iff t = -10\ln\dfrac{3}{7} = 10\ln\dfrac{7}{3} \approx 8{,}473$ min.

$t \approx 8$ min $28$ s