La fonction logarithme

I - Rappels et compléments sur la fonction exponentielle

1 - Relations fonctionnelles

Propriété 1 : $$\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x \ ; \quad e^0 = 1 \ ; \quad e^1 = e \approx 2{,}718 \ ; \quad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$$$$\forall x, y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \times e^y \ ; \quad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \ ; \quad \forall n \in \mathbb{Z},\ e^{nx} = \left(e^x\right)^n$$

2 - Limites à l'infini

Propriété 2 : $$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$

Démonstration

(1) On montre d'abord que $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = e^x - x$. $f$ est dérivable et $f'(x) = e^x - 1$.

$x \geqslant 0 \iff e^x \geqslant 1 \iff f'(x) \geqslant 0$, donc $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. D'où, pour $x \geqslant 0$ : $f(x) \geqslant f(0) = 1$, soit $e^x \geqslant x + 1$.

Or $\lim\limits_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$ donc, par comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

(2) On montre que $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.

$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{e^{-x}} = \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{1}{e^X} = 0$$d'après (1), en posant $X = -x$.

3 - Tableau de variation et courbe

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$e^x$	$0$	↗	$1$	↗	$e$	↗	$+\infty$

La droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ ; la tangente au point $A(0\,;\,1)$ a pour équation $y = x + 1$.

4 - Compléments

Propriété 3 : $$\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$$

Démonstration de $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$

On considère $f(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. $f'(x) = e^x - x > 0$ car $e^x \geqslant x + 1 > x$ : $f$ est strictement croissante et $f(0) = 1$.

Pour $x > 0$ : $e^x - \dfrac{x^2}{2} > 1 > 0$, donc $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ et $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$ (car $x > 0$).

Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$ donc, par comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$.

Propriété 4 : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $e^u$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^u\right)' = u'\,e^u$.

Exemple

$f(x) = e^{-2x + 3}$ : $u(x) = -2x + 3$, $u'(x) = -2$, donc $f'(x) = -2e^{-2x + 3}$.

II - Caractérisation de la fonction logarithme

1 - Définition et premières propriétés

Propriété 5 : Pour tout réel $a > 0$, l'équation $e^x = a$, d'inconnue $x$, admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Démonstration

La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$ ;
elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel $a \in\, ]0\,;\,+\infty[$, l'équation $e^x = a$ admet une unique solution.

Notation : cette solution se note $\ln a$ et s'appelle logarithme népérien de $a$.

Définition 1 : On appelle fonction logarithme népérien la fonction, notée $\ln$, définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $x \longmapsto \ln x$.

Remarque : les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont dites réciproques l'une de l'autre :$$\forall x > 0,\ \forall y \in \mathbb{R},\quad y = \ln x \iff e^y = x$$

Propriété 6 :

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
$\forall x > 0,\ e^{\ln x} = x$ et $\forall y \in \mathbb{R},\ \ln\left(e^y\right) = y$.
$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

2 - Représentation graphique et tableau de variation

Représentation graphique de la fonction $\ln$

Les courbes d'équations $y = e^x$ et $y = \ln x$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$. Cette symétrie s'étend à toutes les propriétés graphiques des courbes (tangentes, asymptotes…).

Propriété 7 : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$$

Conséquence : la droite d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à la courbe de la fonction $\ln$.

Tableau de variation de la fonction $\ln$

$x$	$0$		$1$		$e$		$+\infty$
$\ln x$	$-\infty$	↗	$0$	↗	$1$	↗	$+\infty$

Pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$.

Propriété 8 :

$\forall a, b > 0$ : $a = b \iff \ln a = \ln b$ et $a < b \iff \ln a < \ln b$.
$\ln x < 0$ si $x \in\, ]0\,;\,1[$ et $\ln x > 0$ si $x \in\, ]1\,;\,+\infty[$.

Méthode : résoudre une équation ou une inéquation

$e^x = 5 \iff x = \ln 5$.
$\ln x = 2 \iff x = e^2$ (avec $x > 0$).
$\ln(2x - 1) < 0$ : on doit avoir $2x - 1 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$. Alors $\ln(2x - 1) < \ln 1 \iff 2x - 1 < 1 \iff x < 1$. Donc $S = \left]\dfrac{1}{2}\,;\,1\right[$.
$0{,}8^n < 0{,}1 \iff n \ln 0{,}8 < \ln 0{,}1 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$ (on change le sens car $\ln 0{,}8 < 0$) : $n \geqslant 11$.

Propriété 9 : Propriétés algébriques. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \ ; \quad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a \ ; \quad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$$$$\ln\left(a^n\right) = n \ln a \ ; \quad \ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$$

Exemple

$\ln 12 - \ln 3 + 2\ln 2 = \ln\dfrac{12}{3} + \ln 2^2 = \ln 4 + \ln 4 = \ln 16 = 4\ln 2$.

3 - Compléments

Propriété 10 : $$(1)\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 \qquad (2)\ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \qquad (3)\ \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$

Démonstration de $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(1) = \dfrac{1}{1} = 1$. Par définition du nombre dérivé :

$$\ln'(1) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h) - \ln 1}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}$$

donc $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h} = 1$.

Propriété 11 : Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. La fonction $f : x \mapsto \ln\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Exemple

$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$ : $u(x) = x^2 + 1 > 0$, $u'(x) = 2x$, donc $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

The logarithm function

I - Reminders and complements on the exponential function

1 - Functional relations

Property 1 : $$\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x \ ; \quad e^0 = 1 \ ; \quad e^1 = e \approx 2.718 \ ; \quad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$$$$\forall x, y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \times e^y \ ; \quad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \ ; \quad \forall n \in \mathbb{Z},\ e^{nx} = \left(e^x\right)^n$$

2 - Limits at infinity

Property 2 : $$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$

Proof

(1) First we show that $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Consider the function $f$ defined on $[0\,;\,+\infty[$ by $f(x) = e^x - x$. $f$ is differentiable and $f'(x) = e^x - 1$.

$x \geqslant 0 \iff e^x \geqslant 1 \iff f'(x) \geqslant 0$, so $f$ is increasing on $[0\,;\,+\infty[$. Hence, for $x \geqslant 0$: $f(x) \geqslant f(0) = 1$, i.e. $e^x \geqslant x + 1$.

Since $\lim\limits_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$, by comparison, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

(2) We show that $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.

$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{e^{-x}} = \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{1}{e^X} = 0$$by (1), setting $X = -x$.

3 - Variation table and curve

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$e^x$	$0$	↗	$1$	↗	$e$	↗	$+\infty$

The line $y = 0$ is a horizontal asymptote to the curve at $-\infty$; the tangent at $A(0\,;\,1)$ has equation $y = x + 1$.

4 - Complements

Property 3 : $$\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$$

Proof of $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$

Consider $f(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ on $[0\,;\,+\infty[$. $f'(x) = e^x - x > 0$ since $e^x \geqslant x + 1 > x$: $f$ is strictly increasing and $f(0) = 1$.

For $x > 0$: $e^x - \dfrac{x^2}{2} > 1 > 0$, so $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ and $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$ (since $x > 0$).

Since $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$, by comparison, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$.

Property 4 : Let $u$ be differentiable on an interval $I$. The function $e^u$ is differentiable on $I$ and $\left(e^u\right)' = u'\,e^u$.

Example

$f(x) = e^{-2x + 3}$: $u(x) = -2x + 3$, $u'(x) = -2$, so $f'(x) = -2e^{-2x + 3}$.

II - Characterisation of the logarithm function

1 - Definition and first properties

Property 5 : For every real $a > 0$, the equation $e^x = a$, with unknown $x$, has a unique solution in $\mathbb{R}$.

Proof

The exponential function is continuous on $\mathbb{R}$;
it is strictly increasing on $\mathbb{R}$;
$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ and $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

So, by the intermediate value theorem, for every real $a \in\, ]0\,;\,+\infty[$, the equation $e^x = a$ has a unique solution.

Notation : this solution is written $\ln a$ and is called the natural logarithm of $a$.

Definition 1 : The natural logarithm function, written $\ln$, is the function defined on $]0\,;\,+\infty[$ by $x \longmapsto \ln x$.

Remark : the exponential and natural logarithm functions are inverse functions of each other:$$\forall x > 0,\ \forall y \in \mathbb{R},\quad y = \ln x \iff e^y = x$$

Property 6 :

The function $\ln$ is differentiable on $]0\,;\,+\infty[$ and $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$: $\ln$ is strictly increasing on $]0\,;\,+\infty[$.
$\forall x > 0,\ e^{\ln x} = x$ and $\forall y \in \mathbb{R},\ \ln\left(e^y\right) = y$.
$\ln 1 = 0$ and $\ln e = 1$.

2 - Graph and variation table

Graph of the function $\ln$

The curves $y = e^x$ and $y = \ln x$ are symmetric with respect to the line $y = x$. This symmetry extends to all graphical properties (tangents, asymptotes…).

Property 7 : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$$

Consequence : the line $x = 0$ is a vertical asymptote to the curve of $\ln$.

Variation table of $\ln$

$x$	$0$		$1$		$e$		$+\infty$
$\ln x$	$-\infty$	↗	$0$	↗	$1$	↗	$+\infty$

For all $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$.

Property 8 :

$\forall a, b > 0$: $a = b \iff \ln a = \ln b$ and $a < b \iff \ln a < \ln b$.
$\ln x < 0$ if $x \in\, ]0\,;\,1[$ and $\ln x > 0$ if $x \in\, ]1\,;\,+\infty[$.

Method: solving an equation or inequality

$e^x = 5 \iff x = \ln 5$.
$\ln x = 2 \iff x = e^2$ (with $x > 0$).
$\ln(2x - 1) < 0$: we need $2x - 1 > 0$, i.e. $x > \dfrac{1}{2}$. Then $\ln(2x - 1) < \ln 1 \iff 2x - 1 < 1 \iff x < 1$. So $S = \left]\dfrac{1}{2}\,;\,1\right[$.
$0.8^n < 0.1 \iff n \ln 0.8 < \ln 0.1 \iff n > \dfrac{\ln 0.1}{\ln 0.8} \approx 10.3$ (the inequality is reversed since $\ln 0.8 < 0$): $n \geqslant 11$.

Property 9 : Algebraic properties. For all reals $a > 0$ and $b > 0$ and every integer $n$:$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \ ; \quad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a \ ; \quad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$$$$\ln\left(a^n\right) = n \ln a \ ; \quad \ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$$

Example

$\ln 12 - \ln 3 + 2\ln 2 = \ln\dfrac{12}{3} + \ln 2^2 = \ln 4 + \ln 4 = \ln 16 = 4\ln 2$.

3 - Complements

Property 10 : $$(1)\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 \qquad (2)\ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \qquad (3)\ \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$

Proof of $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$

The function $\ln$ is differentiable on $]0\,;\,+\infty[$ and $\ln'(1) = \dfrac{1}{1} = 1$. By definition of the derivative:

$$\ln'(1) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h) - \ln 1}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}$$

so $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h} = 1$.

Property 11 : Let $u$ be differentiable and strictly positive on an interval $I$. The function $f : x \mapsto \ln\big(u(x)\big)$ is differentiable on $I$ and $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Example

$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ on $\mathbb{R}$: $u(x) = x^2 + 1 > 0$, $u'(x) = 2x$, so $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

La función logaritmo

I - Recordatorios y complementos sobre la función exponencial

1 - Relaciones funcionales

Propiedad 1 : $$\forall x \in \mathbb{R},\ \exp(x) = e^x \ ; \quad e^0 = 1 \ ; \quad e^1 = e \approx 2{,}718 \ ; \quad e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$$$$\forall x, y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \times e^y \ ; \quad e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \ ; \quad \forall n \in \mathbb{Z},\ e^{nx} = \left(e^x\right)^n$$

2 - Límites en el infinito

Propiedad 2 : $$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$

Demostración

(1) Primero se demuestra que $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Se considera la función $f$ definida en $[0\,;\,+\infty[$ por $f(x) = e^x - x$. $f$ es derivable y $f'(x) = e^x - 1$.

$x \geqslant 0 \iff e^x \geqslant 1 \iff f'(x) \geqslant 0$, luego $f$ es creciente en $[0\,;\,+\infty[$. Así, para $x \geqslant 0$: $f(x) \geqslant f(0) = 1$, es decir $e^x \geqslant x + 1$.

Como $\lim\limits_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$, por comparación, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

(2) Se demuestra que $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$.

$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{e^{-x}} = \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{1}{e^X} = 0$$por (1), tomando $X = -x$.

3 - Tabla de variación y curva

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$e^x$	$0$	↗	$1$	↗	$e$	↗	$+\infty$

La recta $y = 0$ es asíntota horizontal de la curva en $-\infty$; la tangente en $A(0\,;\,1)$ tiene por ecuación $y = x + 1$.

4 - Complementos

Propiedad 3 : $$\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$$

Demostración de $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$

Se considera $f(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ en $[0\,;\,+\infty[$. $f'(x) = e^x - x > 0$ porque $e^x \geqslant x + 1 > x$: $f$ es estrictamente creciente y $f(0) = 1$.

Para $x > 0$: $e^x - \dfrac{x^2}{2} > 1 > 0$, luego $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ y $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$ (pues $x > 0$).

Como $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$, por comparación, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$.

Propiedad 4 : Sea $u$ derivable en un intervalo $I$. La función $e^u$ es derivable en $I$ y $\left(e^u\right)' = u'\,e^u$.

Ejemplo

$f(x) = e^{-2x + 3}$: $u(x) = -2x + 3$, $u'(x) = -2$, luego $f'(x) = -2e^{-2x + 3}$.

II - Caracterización de la función logaritmo

1 - Definición y primeras propiedades

Propiedad 5 : Para todo real $a > 0$, la ecuación $e^x = a$, de incógnita $x$, admite una única solución en $\mathbb{R}$.

Demostración

La función exponencial es continua en $\mathbb{R}$;
es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$;
$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ y $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Luego, por el teorema de los valores intermedios, para todo real $a \in\, ]0\,;\,+\infty[$, la ecuación $e^x = a$ admite una única solución.

Notación : esta solución se escribe $\ln a$ y se llama logaritmo neperiano de $a$.

Definición 1 : Se llama función logaritmo neperiano a la función, denotada $\ln$, definida en $]0\,;\,+\infty[$ por $x \longmapsto \ln x$.

Observación : las funciones exponencial y logaritmo neperiano son recíprocas una de la otra:$$\forall x > 0,\ \forall y \in \mathbb{R},\quad y = \ln x \iff e^y = x$$

Propiedad 6 :

La función $\ln$ es derivable en $]0\,;\,+\infty[$ y $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$: $\ln$ es estrictamente creciente en $]0\,;\,+\infty[$.
$\forall x > 0,\ e^{\ln x} = x$ y $\forall y \in \mathbb{R},\ \ln\left(e^y\right) = y$.
$\ln 1 = 0$ y $\ln e = 1$.

2 - Representación gráfica y tabla de variación

Representación gráfica de la función $\ln$

Las curvas $y = e^x$ e $y = \ln x$ son simétricas respecto de la recta $y = x$. Esta simetría se extiende a todas las propiedades gráficas (tangentes, asíntotas…).

Propiedad 7 : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$$

Consecuencia : la recta $x = 0$ es asíntota vertical de la curva de $\ln$.

Tabla de variación de $\ln$

$x$	$0$		$1$		$e$		$+\infty$
$\ln x$	$-\infty$	↗	$0$	↗	$1$	↗	$+\infty$

Para todo $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$.

Propiedad 8 :

$\forall a, b > 0$: $a = b \iff \ln a = \ln b$ y $a < b \iff \ln a < \ln b$.
$\ln x < 0$ si $x \in\, ]0\,;\,1[$ y $\ln x > 0$ si $x \in\, ]1\,;\,+\infty[$.

Método: resolver una ecuación o inecuación

$e^x = 5 \iff x = \ln 5$.
$\ln x = 2 \iff x = e^2$ (con $x > 0$).
$\ln(2x - 1) < 0$: debe ser $2x - 1 > 0$, es decir $x > \dfrac{1}{2}$. Entonces $\ln(2x - 1) < \ln 1 \iff 2x - 1 < 1 \iff x < 1$. Luego $S = \left]\dfrac{1}{2}\,;\,1\right[$.
$0{,}8^n < 0{,}1 \iff n \ln 0{,}8 < \ln 0{,}1 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$ (se invierte la desigualdad porque $\ln 0{,}8 < 0$): $n \geqslant 11$.

Propiedad 9 : Propiedades algebraicas. Para todos los reales $a > 0$ y $b > 0$ y todo entero $n$:$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \ ; \quad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a \ ; \quad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$$$$\ln\left(a^n\right) = n \ln a \ ; \quad \ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$$

Ejemplo

$\ln 12 - \ln 3 + 2\ln 2 = \ln\dfrac{12}{3} + \ln 2^2 = \ln 4 + \ln 4 = \ln 16 = 4\ln 2$.

3 - Complementos

Propiedad 10 : $$(1)\ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 \qquad (2)\ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \qquad (3)\ \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$

Demostración de $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$

La función $\ln$ es derivable en $]0\,;\,+\infty[$ y $\ln'(1) = \dfrac{1}{1} = 1$. Por definición de la derivada:

$$\ln'(1) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h) - \ln 1}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}$$

luego $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h} = 1$.

Propiedad 11 : Sea $u$ derivable y estrictamente positiva en un intervalo $I$. La función $f : x \mapsto \ln\big(u(x)\big)$ es derivable en $I$ y $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Ejemplo

$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ en $\mathbb{R}$: $u(x) = x^2 + 1 > 0$, $u'(x) = 2x$, luego $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.