Limites de fonctions - Exercices Limits of functions - Exercises Límites de funciones - Ejercicios

a)

$\lim x^3 = +\infty$ et $\lim \sqrt{x} = +\infty$ : par somme,

limite $= +\infty$

b)

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ :

limite $= +\infty$

c)

$\dfrac{2}{x^2} \to 0$ :

limite $= 3$

d)

$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ :

limite $= +\infty$

On obtient des formes indéterminées « $+\infty - \infty$ » : on factorise par le terme de plus haut degré.

a)

$2x^3 - 5x^2 + x - 4 = x^3\left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{4}{x^3}\right)$ ; la parenthèse tend vers $2$.

limite $= +\infty$

b)

Même factorisation ; en $-\infty$, $x^3 \to -\infty$ et la parenthèse tend vers $2$.

limite $= -\infty$

c)

$-x^4 + 3x^3 + 1 = x^4\left(-1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^4}\right)$ ; $x^4 \to +\infty$ et la parenthèse tend vers $-1$.

limite $= -\infty$

On factorise numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré.

a)

$\dfrac{x\left(3 - \frac{2}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{5}{x}\right)} \to \dfrac{3}{1}$

limite $= 3$

b)

$\dfrac{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}{x\left(2 - \frac{3}{x}\right)} = x \times \dfrac{1 + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x}}$ ; la fraction tend vers $\dfrac{1}{2}$ et $x \to -\infty$.

limite $= -\infty$

c)

$\dfrac{x\left(4 + \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{4 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}$

limite $= 0$

d)

$\dfrac{x^2\left(-2 + \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} \to \dfrac{-2}{1}$

limite $= -2$

a)

$\lim (x + 2) = 3 > 0$ en $1$. Pour $x > 1$, $x - 1 \to 0^+$ ; pour $x < 1$, $x - 1 \to 0^-$.

$\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{x + 2}{x - 1} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{x + 2}{x - 1} = -\infty$

b)

$(x + 2)^2 \to 0^+$ (un carré est positif) et le numérateur vaut $-3 < 0$ : « $\dfrac{-3}{0^+}$ ».

limite $= -\infty$

c)

Forme « $\dfrac{0}{0}$ » ; pour $x \neq -3$, $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3$.

limite $= -6$

1)

$f(x) = \dfrac{3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \to 3$ en $\pm\infty$.

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ : la droite $y = 3$ est asymptote horizontale

2)

En $2$, le numérateur tend vers $7 > 0$ ; $x - 2 \to 0^-$ à gauche et $0^+$ à droite.

$\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ : la droite $x = 2$ est asymptote verticale

a)

$x - 4\sqrt{x} = \sqrt{x}\left(\sqrt{x} - 4\right)$ : les deux facteurs tendent vers $+\infty$.

limite $= +\infty$

b)

$\dfrac{\sqrt{x}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}\left(1 - \frac{3}{\sqrt{x}}\right)} \to \dfrac{2}{1}$

limite $= 2$

c)

$\dfrac{\sqrt{x}}{x + 1} = \dfrac{\sqrt{x}}{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \times \dfrac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

limite $= 0$

1)

$\sin x \geqslant -1$ donc $f(x) \geqslant x^2 - 1$, et $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - 1) = +\infty$.

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

2)

$\cos x \leqslant 1$ donc $g(x) \leqslant -2x + 1$, et $\lim\limits_{x \to +\infty} (-2x + 1) = -\infty$.

$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$

1)

$f(x) = 3 + \dfrac{\cos x}{x}$ et $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ ; en divisant par $x > 0$ puis en ajoutant $3$, on obtient l'encadrement.

2)

$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(3 \pm \dfrac{1}{x}\right) = 3$ ; d'après le théorème des gendarmes :

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ : la droite $y = 3$ est asymptote horizontale en $+\infty$

1)

Le numérateur tend vers $3$ et, pour $x > -1$, $x + 1 \to 0^+$ : « $\dfrac{3}{0^+}$ ».

$\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$ : la droite $x = -1$ est asymptote verticale

2)

$f(x) = x \times \dfrac{1 + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$ ; la fraction tend vers $1$.

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

3)

$f(x) - (x - 1) = \dfrac{x^2 + 2 - (x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \dfrac{x^2 + 2 - x^2 + 1}{x + 1} = \dfrac{3}{x + 1}$.

$\lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x) - (x - 1)\right] = 0$ : la courbe se rapproche de la droite $y = x - 1$

1)

$M(x) = 0{,}5x + 20 + \dfrac{800}{x}$

2)

$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{800}{x} = +\infty$ :

$\lim\limits_{x \to 0^+} M(x) = +\infty$ : pour très peu d'objets, le coût moyen est énorme (les $800$ € de frais fixes sont répartis sur peu d'objets)

3)

$\lim\limits_{x \to +\infty} M(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left[M(x) - (0{,}5x + 20)\right] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{800}{x} = 0$

La courbe de $M$ se rapproche de la droite d'équation $y = 0{,}5x + 20$ quand $x$ devient grand.