Limites de fonctions

I - Limite d'une fonction à l'infini

1 - Limite finie

Quand, pour $x$ aussi grand que l'on veut, l'écart entre $f(x)$ et un réel $\ell$ peut être rendu aussi petit que l'on veut, on dit que la fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$. On note $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ se rapproche indéfiniment de la droite d'équation $y = \ell$. De façon analogue, on définit une limite finie en $-\infty$.

Définition 1 : Lorsque $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (resp. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \ell$), on dit que la courbe de $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$).

Exemple

$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$ sur $\mathbb{R}$ : $f(x)$ se rapproche de $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$ et la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$.

2 - Limite infinie

Quand, pour $x$ aussi grand que l'on veut, $f(x)$ finit par dépasser n'importe quel réel $M$ choisi aussi grand que l'on veut, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$. On note $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. On définit de même les limites $-\infty$, ainsi que les limites infinies en $-\infty$.

Propriété 1 :

Pour tout entier $n \geqslant 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$

II - Limite d'une fonction en un réel $a$

1 - Limite infinie

Quand, pour $x$ suffisamment proche de $a$, $f(x)$ dépasse n'importe quel réel $M$ choisi aussi grand que l'on veut, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$.

Définition 2 : Lorsque $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ (ou $-\infty$), éventuellement à gauche ou à droite de $a$, on dit que la courbe de $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x = a$.

Exemple

$f(x) = \dfrac{1}{2 - x}$ sur $]-\infty\,;\,2[$ : quand $x$ se rapproche de $2$, $2 - x$ est positif et proche de $0$, donc $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$. La droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

Propriété 2 : $$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$$

($x \to 0^+$ signifie que $x$ tend vers $0$ en restant strictement positif.)

2 - Limite finie

Quand, pour $x$ suffisamment proche de $a$, $f(x)$ est aussi proche que l'on veut d'un réel $\ell$, on dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$. Pour les fonctions usuelles (polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée) définies en $a$, on a simplement $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Exemple

$f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ sur $]-\infty\,;\,2[$ : $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ donc $f(x) = x + 3$ pour $x \neq 2$, et $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5$.

III - Calculs de limites

1 - Opérations sur les limites

Propriété 3 : Les règles sur les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient vues pour les suites s'appliquent aux fonctions (en $+\infty$, en $-\infty$ ou en un réel $a$). Les formes indéterminées sont : « $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac{0}{0}$ ».

Propriété 4 : En $+\infty$ et en $-\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Méthode : calcul de limites aux bornes de l'ensemble de définition

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$ sur $]-\infty\,;\,-2[$.

En $-\infty$ : forme indéterminée ; $f(x) = \dfrac{x\left(x - \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \dfrac{x - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$, le numérateur tend vers $-\infty$ et le dénominateur vers $1$, donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

En $-2$ : $\lim\limits_{x \to -2} (x^2 - 1) = (-2)^2 - 1 = 3$ et $\lim\limits_{x \to -2} (x + 2) = 0$. Il faut le signe de $x + 2$ : pour $x < -2$, $x + 2 < 0$, on note $\lim\limits_{x \to -2^-} (x + 2) = 0^-$. Donc, par quotient (« $\dfrac{3}{0^-}$ »), $\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$ : la droite $x = -2$ est asymptote verticale.

2 - Limites et comparaison

Propriété 5 : Soit $f$ et $g$ définies sur $]A\,;\,+\infty[$ avec $f(x) \leqslant g(x)$. Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ alors $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ ; si $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$ alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Propriété 6 : Théorème des gendarmes. Si, pour $x > A$, $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \ell$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

Remarque : ces propriétés s'appliquent aussi en $-\infty$ et en un réel $a$.

Exemple

$f(x) = \dfrac{\cos x}{x}$ sur $]-\infty\,;\,0[$ : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $x < 0$, donc $-\dfrac{1}{x} \geqslant f(x) \geqslant \dfrac{1}{x}$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $-\infty$, donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

Limits of functions

I - Limit of a function at infinity

1 - Finite limit

When, for $x$ as large as we want, the gap between $f(x)$ and a real number $\ell$ can be made as small as we want, we say that $f$ has limit $\ell$ at $+\infty$. We write $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

The curve $\mathcal{C}_f$ gets indefinitely closer to the line $y = \ell$. Similarly, we define a finite limit at $-\infty$.

Definition 1 : When $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (resp. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \ell$), we say that the curve of $f$ has a horizontal asymptote with equation $y = \ell$ at $+\infty$ (resp. at $-\infty$).

Example

$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$ on $\mathbb{R}$: $f(x)$ gets closer to $0$ when $x$ tends to $+\infty$ or $-\infty$. So $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$ and the line $y = 0$ is a horizontal asymptote to $\mathcal{C}_f$.

2 - Infinite limit

When, for $x$ as large as we want, $f(x)$ eventually exceeds any real $M$ chosen as large as we want, we say that $f$ has limit $+\infty$ at $+\infty$. We write $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Limits equal to $-\infty$ and infinite limits at $-\infty$ are defined in the same way.

Property 1 :

For every integer $n \geqslant 1$: $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$; $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ if $n$ is even, $-\infty$ if $n$ is odd.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$

II - Limit of a function at a real number $a$

1 - Infinite limit

When, for $x$ close enough to $a$, $f(x)$ exceeds any real $M$ chosen as large as we want, we say that $f$ has limit $+\infty$ at $a$: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$.

Definition 2 : When $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ (or $-\infty$), possibly on the left or on the right of $a$, we say that the curve of $f$ has a vertical asymptote with equation $x = a$.

Example

$f(x) = \dfrac{1}{2 - x}$ on $]-\infty\,;\,2[$: when $x$ gets close to $2$, $2 - x$ is positive and close to $0$, so $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$. The line $x = 2$ is a vertical asymptote to $\mathcal{C}_f$.

Property 2 : $$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$$

($x \to 0^+$ means that $x$ tends to $0$ while staying positive.)

2 - Finite limit

When, for $x$ close enough to $a$, $f(x)$ is as close as we want to a real $\ell$, we say that $f$ has limit $\ell$ at $a$: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$. For usual functions (polynomials, rational functions, square root) defined at $a$, we simply have $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Example

$f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ on $]-\infty\,;\,2[$: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ so $f(x) = x + 3$ for $x \neq 2$, and $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5$.

III - Computing limits

1 - Operations on limits

Property 3 : The rules for the limits of a sum, a product and a quotient seen for sequences also apply to functions (at $+\infty$, $-\infty$ or at a real $a$). The indeterminate forms are: “$+\infty - \infty$”, “$0 \times \infty$”, “$\dfrac{\infty}{\infty}$” and “$\dfrac{0}{0}$”.

Property 4 : At $+\infty$ and $-\infty$, a polynomial has the same limit as its highest-degree term, and a rational function has the same limit as the quotient of the highest-degree terms of its numerator and denominator.

Method: limits at the endpoints of the domain

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$ on $]-\infty\,;\,-2[$.

At $-\infty$: indeterminate form; $f(x) = \dfrac{x\left(x - \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \dfrac{x - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$, the numerator tends to $-\infty$ and the denominator to $1$, so $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

At $-2$: $\lim\limits_{x \to -2} (x^2 - 1) = (-2)^2 - 1 = 3$ and $\lim\limits_{x \to -2} (x + 2) = 0$. We need the sign of $x + 2$: for $x < -2$, $x + 2 < 0$, we write $\lim\limits_{x \to -2^-} (x + 2) = 0^-$. So, by quotient (“$\dfrac{3}{0^-}$”), $\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$: the line $x = -2$ is a vertical asymptote.

2 - Limits and comparison

Property 5 : Let $f$ and $g$ be defined on $]A\,;\,+\infty[$ with $f(x) \leqslant g(x)$. If $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ then $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$; if $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$ then $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Property 6 : Squeeze theorem. If, for $x > A$, $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ and $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \ell$, then $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

Remark : these properties also apply at $-\infty$ and at a real $a$.

Example

$f(x) = \dfrac{\cos x}{x}$ on $]-\infty\,;\,0[$: $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ and $x < 0$, so $-\dfrac{1}{x} \geqslant f(x) \geqslant \dfrac{1}{x}$. Both bounds tend to $0$ at $-\infty$, so $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

Límites de funciones

I - Límite de una función en el infinito

1 - Límite finito

Cuando, para $x$ tan grande como se quiera, la diferencia entre $f(x)$ y un real $\ell$ puede hacerse tan pequeña como se quiera, se dice que $f$ tiene límite $\ell$ en $+\infty$. Se escribe $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

La curva $\mathcal{C}_f$ se acerca indefinidamente a la recta $y = \ell$. De forma análoga se define un límite finito en $-\infty$.

Definición 1 : Cuando $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (resp. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \ell$), se dice que la curva de $f$ admite una asíntota horizontal de ecuación $y = \ell$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$).

Ejemplo

$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$ en $\mathbb{R}$: $f(x)$ se acerca a $0$ cuando $x$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$. Así $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$ y la recta $y = 0$ es asíntota horizontal de $\mathcal{C}_f$.

2 - Límite infinito

Cuando, para $x$ tan grande como se quiera, $f(x)$ acaba superando cualquier real $M$ elegido tan grande como se quiera, se dice que $f$ tiene límite $+\infty$ en $+\infty$. Se escribe $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Se definen igual los límites $-\infty$ y los límites infinitos en $-\infty$.

Propiedad 1 :

Para todo entero $n \geqslant 1$: $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$; $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ es par, $-\infty$ si $n$ es impar.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ ; $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$

II - Límite de una función en un real $a$

1 - Límite infinito

Cuando, para $x$ suficientemente próximo de $a$, $f(x)$ supera cualquier real $M$ elegido tan grande como se quiera, se dice que $f$ tiene límite $+\infty$ en $a$: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$.

Definición 2 : Cuando $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ (o $-\infty$), eventualmente por la izquierda o por la derecha de $a$, se dice que la curva de $f$ admite una asíntota vertical de ecuación $x = a$.

Ejemplo

$f(x) = \dfrac{1}{2 - x}$ en $]-\infty\,;\,2[$: cuando $x$ se acerca a $2$, $2 - x$ es positivo y próximo a $0$, así que $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$. La recta $x = 2$ es asíntota vertical de $\mathcal{C}_f$.

Propiedad 2 : $$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$$

($x \to 0^+$ significa que $x$ tiende a $0$ siendo positivo.)

2 - Límite finito

Cuando, para $x$ suficientemente próximo de $a$, $f(x)$ está tan cerca como se quiera de un real $\ell$, se dice que $f$ tiene límite $\ell$ en $a$: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$. Para las funciones usuales (polinomios, funciones racionales, raíz cuadrada) definidas en $a$, simplemente $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Ejemplo

$f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ en $]-\infty\,;\,2[$: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ así que $f(x) = x + 3$ para $x \neq 2$, y $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5$.

III - Cálculo de límites

1 - Operaciones con límites

Propiedad 3 : Las reglas sobre límites de una suma, un producto y un cociente vistas para las sucesiones se aplican a las funciones (en $+\infty$, en $-\infty$ o en un real $a$). Las formas indeterminadas son: «$+\infty - \infty$», «$0 \times \infty$», «$\dfrac{\infty}{\infty}$» y «$\dfrac{0}{0}$».

Propiedad 4 : En $+\infty$ y en $-\infty$, un polinomio tiene el mismo límite que su término de mayor grado, y una función racional tiene el mismo límite que el cociente de los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

Método: límites en los extremos del dominio

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$ en $]-\infty\,;\,-2[$.

En $-\infty$: forma indeterminada; $f(x) = \dfrac{x\left(x - \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \dfrac{x - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$, el numerador tiende a $-\infty$ y el denominador a $1$, así que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

En $-2$: $\lim\limits_{x \to -2} (x^2 - 1) = (-2)^2 - 1 = 3$ y $\lim\limits_{x \to -2} (x + 2) = 0$. Hace falta el signo de $x + 2$: para $x < -2$, $x + 2 < 0$, se escribe $\lim\limits_{x \to -2^-} (x + 2) = 0^-$. Así, por cociente («$\dfrac{3}{0^-}$»), $\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$: la recta $x = -2$ es asíntota vertical.

2 - Límites y comparación

Propiedad 5 : Sean $f$ y $g$ definidas en $]A\,;\,+\infty[$ con $f(x) \leqslant g(x)$. Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ entonces $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$; si $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$ entonces $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

Propiedad 6 : Teorema del sándwich. Si, para $x > A$, $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ y $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \ell$, entonces $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$.

Observación : estas propiedades se aplican también en $-\infty$ y en un real $a$.

Ejemplo

$f(x) = \dfrac{\cos x}{x}$ en $]-\infty\,;\,0[$: $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ y $x < 0$, así que $-\dfrac{1}{x} \geqslant f(x) \geqslant \dfrac{1}{x}$. Las dos cotas tienden a $0$ en $-\infty$, luego $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.