Initiation aux échelles
1 - Signification d'une échelle
Définition 1 : Sur un plan ou une carte, les distances représentées sont proportionnelles aux distances réelles. L'échelle indique la correspondance entre une distance sur le plan et la distance réelle.
Définition 2 : Une échelle graphique est un segment gradué sur lequel on lit directement la distance réelle qui correspond à une longueur donnée sur le plan.
Sur ce plan, $1$ cm représente $50$ m dans la réalité. Une rue mesurant $4$ cm sur le plan mesure en réalité $4 \times 50 = 200$ m.
On rencontre aussi des échelles dans les documents scientifiques : sous un microscope, une barre de $1$ cm légendée « $0{,}1$ mm » signifie que $1$ cm sur l'image représente $0{,}1$ mm en réalité : l'objet est agrandi.
2 - Calculer des distances réelles ou sur le plan
Propriété 1 : Pour passer d'une distance sur le plan à la distance réelle (ou l'inverse), on utilise la proportionnalité : tableau, coefficient, linéarité ou passage par l'unité. Les deux distances d'une même ligne doivent être exprimées dans la même unité.
Sur une carte, $2$ cm représentent $5$ km.
| Distance sur la carte (en cm) | $2$ | $1$ | $4{,}8$ |
|---|---|---|---|
| Distance réelle (en km) | $5$ | $2{,}5$ | $12$ |
- Distance réelle : deux villes sont à $7$ cm l'une de l'autre sur la carte. $1$ cm représente $5 \div 2 = 2{,}5$ km, donc $7$ cm représentent $7 \times 2{,}5 = 17{,}5$ km.
- Distance sur la carte : un lac mesure $12$ km de long. $12 \div 2{,}5 = 4{,}8$ : il mesure $4{,}8$ cm sur la carte.
Propriété 2 : Une échelle peut s'écrire sous forme d'une fraction : l'échelle $\dfrac{1}{1~000}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $1~000$ cm, soit $10$ m, dans la réalité.
Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, une pièce mesure $3$ cm de long. En réalité, elle mesure $3 \times 200 = 600$ cm, soit $6$ m.
Remarque : Une carte routière représente un grand territoire : la distance réelle est beaucoup plus grande que sur la carte (réduction). Sur une image de microscope, c'est l'inverse (agrandissement).