Résoudre des problèmes de proportionnalité

1 - Utiliser la linéarité multiplicative

Propriété 1 : Dans une situation de proportionnalité, si l'on multiplie (ou divise) une quantité par un nombre, la quantité correspondante est multipliée (ou divisée) par le même nombre.

$4$ cahiers coûtent $6$ €. Combien coûtent $12$ cahiers ?

Nombre de cahiers$4$$\times 3$ →$12$
Prix (en €)$6$$\times 3$ →$18$

$12$ cahiers, c'est $3$ fois plus que $4$ cahiers : ils coûtent $3$ fois plus, soit $6 \times 3 = 18$ €.

2 - Utiliser la linéarité additive

Propriété 2 : Dans une situation de proportionnalité, à la somme de deux quantités correspond la somme des quantités correspondantes.

Pour $4$ personnes, il faut $200$ g de farine ; pour $6$ personnes, $300$ g. Quelle masse pour $10$ personnes ?

Nombre de personnes$4$$6$$4 + 6 = 10$
Masse de farine (en g)$200$$300$$200 + 300 = 500$

$10 = 4 + 6$, donc il faut $200 + 300 = 500$ g de farine.

3 - Le passage par l'unité

Propriété 3 : On peut d'abord calculer la quantité qui correspond à une seule unité (par une division), puis la quantité cherchée (par une multiplication).

$5$ croissants coûtent $6$ €. Combien coûtent $7$ croissants ?

  • $1$ croissant coûte $6 \div 5 = 1{,}20$ € ;
  • $7$ croissants coûtent $7 \times 1{,}20 = 8{,}40$ €.
CroissantsPrix
$5$$6$ €$\div 5$ ↓
$1$$1{,}20$ €$\times 7$ ↓
$7$$8{,}40$ €

4 - Utiliser le coefficient de proportionnalité

Propriété 4 : Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le coefficient de proportionnalité. Une notation fléchée permet de le faire apparaître.

Une voiture consomme $6$ L d'essence pour $100$ km. Le coefficient est $6 \div 100 = 0{,}06$.

Distance (en km)$100$$250$$40$$\times 0{,}06$ ↓
Essence (en L)$6$$15$$2{,}4$

$250 \times 0{,}06 = 15$ ; $40 \times 0{,}06 = 2{,}4$.

Remarque : Toutes ces méthodes donnent le même résultat : on choisit la plus simple selon les nombres de l'énoncé.