Expériences aléatoires répétées
1 - Répéter une expérience et calculer une proportion
Définition 1 : Quand on répète plusieurs fois une expérience aléatoire, la fréquence (ou proportion) d'apparition d'une issue est le quotient : $$\text{fréquence} = \dfrac{\text{nombre de fois où l'issue est apparue}}{\text{nombre total d'expériences}}$$
Tom lance une pièce de monnaie $20$ fois et note les résultats (P : pile ; F : face) :
P F F P P F P P F P F P P F F P P F P P
Il obtient $12$ fois « pile ». La fréquence de « pile » est $\dfrac{12}{20} = \dfrac{60}{100} = 0{,}6$, soit $60~\%$.
Remarque : Si Tom recommence $20$ nouveaux lancers, il obtiendra probablement une fréquence différente : les résultats varient d'une série à l'autre. C'est la fluctuation.
2 - Comparer les résultats avec la probabilité
Propriété 1 : Quand on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'une issue se rapproche de sa probabilité.
Lancers d'une pièce équilibrée (probabilité de « pile » : $0{,}5$) :
| Nombre de lancers | $10$ | $50$ | $100$ | $1~000$ | $10~000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de « pile » | $7$ | $22$ | $54$ | $489$ | $5~012$ |
| Fréquence de « pile » | $0{,}7$ | $0{,}44$ | $0{,}54$ | $0{,}489$ | $0{,}501~2$ |
- Avec peu de lancers, la fréquence peut être loin de $0{,}5$.
- Avec beaucoup de lancers, elle se stabilise autour de $0{,}5$, la probabilité théorique.
Propriété 2 : Quand on ne peut pas calculer une probabilité (dé truqué, punaise que l'on lance…), on peut l'estimer par la fréquence observée sur un grand nombre d'expériences.
On lance $500$ fois une punaise : elle tombe $310$ fois sur la tête. On estime la probabilité qu'elle tombe sur la tête à $\dfrac{310}{500} = 0{,}62$, soit environ $62~\%$.