Exercices corrigés : La symétrie axiale
Exercice 1 : Sur quadrillage (1)
Reproduire la figure sur papier quadrillé et construire son symétrique par rapport à la droite rouge.
Corrigé détaillé :
Les sommets sont à $4$, $2$, $1$ et $3$ carreaux de l'axe : on les reporte de l'autre côté, à la même hauteur, puis on relie dans le même ordre.
Exercice 2 : Sur quadrillage (2)
Même consigne avec cette figure en forme de flèche.
Corrigé détaillé :
Le sommet de la pointe est à $1$ carreau de l'axe : son symétrique aussi. La flèche symétrique pointe vers la gauche.
Exercice 3 : Symétrique d'un point
Le point A est à $2{,}7$ cm de la droite $(d)$. On construit son symétrique A'. a) À quelle distance de $(d)$ est A' ? b) Calculer AA'. c) Que représente $(d)$ pour le segment [AA'] ?
Corrigé détaillé :
a) $2{,}7$ cm. b) AA' $= 2 \times 2{,}7 = $ $5{,}4$ cm. c) $(d)$ est la médiatrice de [AA'].
Exercice 4 : Construction à l'équerre
Décrire la construction du symétrique d'un point B par rapport à une droite $(d)$ avec la règle graduée et l'équerre.
Corrigé détaillé :
On trace avec l'équerre la perpendiculaire à $(d)$ passant par B ; elle coupe $(d)$ en H. On mesure BH et on place B' sur cette perpendiculaire, de l'autre côté de $(d)$, tel que HB' $=$ HB.
Exercice 5 : Construction au compas
Expliquer comment construire le symétrique d'un point A par rapport à $(d)$ avec seulement un compas.
Corrigé détaillé :
On choisit deux points E et F sur $(d)$. On trace l'arc de centre E et de rayon EA, puis l'arc de centre F et de rayon FA, de l'autre côté de $(d)$ : ils se coupent en A'.
Exercice 6 : Propriétés
Le triangle A'B'C' est le symétrique du triangle ABC par rapport à $(d)$. AB $= 4$ cm, BC $= 5$ cm, AC $= 3$ cm et $\widehat{\text{BAC}} = 90°$.
a) Donner les longueurs des côtés de A'B'C'.
b) Que vaut $\widehat{\text{B'A'C'}}$ ?
c) Calculer le périmètre de A'B'C'.
Corrigé détaillé :
a) A'B' $= 4$ cm, B'C' $= 5$ cm, A'C' $= 3$ cm (longueurs conservées). b) $90°$ (angles conservés). c) $4 + 5 + 3 = $ $12$ cm.
Exercice 7 : Axes de symétrie
Donner le nombre d'axes de symétrie de chaque figure : carré ; rectangle ; triangle équilatéral ; triangle isocèle (non équilatéral) ; cercle ; losange (non carré).
Corrigé détaillé :
Carré : $4$ ; rectangle : $2$ ; triangle équilatéral : $3$ ; triangle isocèle : $1$ ; cercle : une infinité ; losange : $2$ (ses diagonales).
Exercice 8 : Lettres symétriques
Parmi les lettres majuscules A, B, E, F, H, N, O, X, lesquelles ont au moins un axe de symétrie ? Préciser lesquelles en ont deux.
Corrigé détaillé :
Au moins un axe : A, B, E, H, O, X (F et N n'en ont pas). Deux axes (au moins) : H, O, X.
Exercice 9 : Aire d'une figure symétrique
Sur quadrillage (carreaux de $1$ cm), la figure bleue a une aire de $8$ cm². Quelle est l'aire de sa symétrique ? Quelle est l'aire de la figure formée par les deux ?
Corrigé détaillé :
Les aires sont conservées : $8$ cm². Les deux figures ne se chevauchent pas (elles sont de part et d'autre de l'axe) : $8 + 8 = $ $16$ cm².
Exercice 10 : Problème : le reflet
Un arbre de $6$ m se reflète dans un lac calme ; la surface du lac joue le rôle d'axe de symétrie. Le sommet de l'arbre est à $6$ m au-dessus de l'eau. Où se trouve le sommet du reflet ? Quelle est la distance entre le sommet de l'arbre et le sommet de son reflet ?
Corrigé détaillé :
Le sommet du reflet est à $6$ m sous la surface, sur la même verticale. Distance : $6 + 6 = $ $12$ m.