La symétrie axiale
1 - Symétrique d'un point par rapport à une droite
Définition 1 : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $(d)$ si elles se superposent par pliage le long de cette droite. La droite $(d)$ est l'axe de symétrie.
Définition 2 : Le symétrique d'un point A par rapport à une droite $(d)$ est le point A' tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment [AA']. Si A est sur $(d)$, son symétrique est A lui-même.
A' est le symétrique de A par rapport à $(d)$ :
- $(d)$ est perpendiculaire à [AA'] ;
- $(d)$ passe par le milieu de [AA'].
Construction à l'équerre : on trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par A, puis on reporte la distance de A à $(d)$ de l'autre côté.
2 - Propriétés de la symétrie axiale
Propriété 1 : La symétrie axiale conserve :
• les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
• l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite ;
• les angles : le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ;
• les périmètres et les aires : une figure et sa symétrique ont même périmètre et même aire.
Le triangle A'B'C' est le symétrique du triangle ABC par rapport à $(d)$. Donc :
- A'B' $=$ AB, B'C' $=$ BC, A'C' $=$ AC ;
- $\widehat{\text{A'B'C'}} = \widehat{\text{ABC}}$, … ;
- les deux triangles ont le même périmètre et la même aire.
Remarque : Une figure peut avoir un ou plusieurs axes de symétrie : elle est alors sa propre symétrique. Le carré en a $4$, le rectangle $2$, le triangle équilatéral $3$, le cercle une infinité.
3 - Construire le symétrique d'une figure
Propriété 2 : Pour construire le symétrique d'un polygone, on construit les symétriques de ses sommets, puis on les relie dans le même ordre.
Sur papier quadrillé : on compte les carreaux de chaque sommet jusqu'à l'axe, puis on les reporte de l'autre côté.
Sur papier uni (au compas) : on choisit E et F sur $(d)$. Les arcs de centre E (rayon EA) et de centre F (rayon FA) se recoupent en A'.