Exercices corrigés : Les triangles
Exercice 1 : Trois côtés
Construire le triangle ABC tel que AB $= 6$ cm, AC $= 4$ cm et BC $= 5$ cm. Décrire les étapes.
Corrigé détaillé :
Schéma à main levée, puis : on trace [AB] de $6$ cm ; arc de centre A et de rayon $4$ cm ; arc de centre B et de rayon $5$ cm ; C est le point d'intersection des arcs. (Constructible car $4 + 5 > 6$.)
Exercice 2 : Deux côtés et un angle
Construire le triangle DEF tel que DE $= 5$ cm, $\widehat{\text{EDF}} = 50°$ et DF $= 3{,}5$ cm. Décrire les étapes.
Corrigé détaillé :
On trace [DE] de $5$ cm. Au rapporteur, on trace la demi-droite d'origine D faisant un angle de $50°$ avec [DE). On place F sur cette demi-droite à $3{,}5$ cm de D, puis on trace [EF].
Exercice 3 : Un côté et deux angles
Construire le triangle GHI tel que GH $= 6$ cm, $\widehat{G} = 40°$ et $\widehat{H} = 70°$. Calculer $\widehat{I}$. Que remarque-t-on ?
Corrigé détaillé :
On trace [GH], puis les angles de $40°$ en G et de $70°$ en H : leurs côtés se coupent en I.
$\widehat{I} = 180 - (40 + 70) = $ $70°$ $= \widehat{H}$ : le triangle est isocèle en G.
Exercice 4 : Troisième angle
Dans un triangle ABC, $\widehat{A} = 48°$ et $\widehat{B} = 67°$. Calculer $\widehat{C}$.
Corrigé détaillé :
$\widehat{C} = 180 - (48 + 67) = 180 - 115 = $ $65°$.
Exercice 5 : Triangle rectangle
EFG est rectangle en E et $\widehat{F} = 33°$. Calculer $\widehat{G}$.
Corrigé détaillé :
Les deux angles aigus sont complémentaires : $\widehat{G} = 90 - 33 = $ $57°$.
Exercice 6 : Triangle isocèle
a) ABC est isocèle en A et $\widehat{A} = 40°$. Calculer $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.
b) MNP est isocèle en M et $\widehat{N} = 52°$. Calculer $\widehat{M}$.
Corrigé détaillé :
a) $\widehat{B} = \widehat{C} = (180 - 40) \div 2 = $ $70°$.
b) $\widehat{P} = \widehat{N} = 52°$, donc $\widehat{M} = 180 - 2 \times 52 = $ $76°$.
Exercice 7 : Triangle équilatéral
Un triangle a deux angles de $60°$. Calculer le troisième angle. Quelle est la nature de ce triangle ?
Corrigé détaillé :
$180 - 120 = $ $60°$ : les trois angles mesurent $60°$, le triangle est équilatéral.
Exercice 8 : Triangle impossible
Léo veut construire un triangle RST avec RS $= 7$ cm, $\widehat{R} = 100°$ et $\widehat{S} = 85°$. Est-ce possible ? Expliquer.
Corrigé détaillé :
Non : $100 + 85 = 185 > 180$. Les côtés des deux angles ne se coupent pas.
Exercice 9 : Cercle circonscrit
a) Expliquer comment construire le cercle circonscrit à un triangle ABC.
b) Son centre O vérifie OA $= 3{,}2$ cm. Que valent OB et OC ? Quel est le diamètre du cercle ?
Corrigé détaillé :
a) On trace deux médiatrices (par exemple de [AB] et de [BC]) : elles se coupent en O. On trace le cercle de centre O passant par A.
b) OB $=$ OC $=$ OA $= $ $3{,}2$ cm ; diamètre : $2 \times 3{,}2 = $ $6{,}4$ cm.
Exercice 10 : Problème : l'équerre
Une équerre a la forme d'un triangle rectangle isocèle. Quelles sont les mesures de ses trois angles ? Une autre équerre est un triangle rectangle avec un angle de $30°$ : quels sont ses autres angles ?
Corrigé détaillé :
Rectangle isocèle : $90°$, $45°$ et $45°$ ($90 \div 2 = 45$).
Avec $30°$ : $90°$ et $60°$ ($90 - 30 = 60$).