Les triangles
1 - Construire un triangle
Propriété 1 : On peut construire un triangle quand on connaît : ses trois côtés, ou deux côtés et l'angle compris entre eux, ou un côté et les deux angles adjacents à ce côté. On commence toujours par un schéma à main levée codé.
Trois côtés
Deux côtés et l'angle compris
Un côté et deux angles
- Trois côtés (AB $= 5$ cm, AC $= 4$ cm, BC $= 3$ cm) : on trace [AB], puis deux arcs de cercle de centres A (rayon $4$ cm) et B (rayon $3$ cm) ; ils se coupent en C.
- Deux côtés et l'angle compris : on trace [AB], l'angle de $50°$ au rapporteur, puis on place C à $3{,}5$ cm de A.
- Un côté et deux angles : on trace [AB], puis les deux angles aux extrémités : leurs côtés se coupent en C.
2 - Somme des angles d'un triangle
Propriété 2 : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $\mathbf{180°}$ (un angle plat).
En découpant les trois coins d'un triangle et en les mettant côte à côte, on obtient un angle plat.
Dans le triangle ABC, $\widehat{A} = 60°$ et $\widehat{B} = 30°$ : $\widehat{C} = 180° - (60° + 30°) = 180° - 90° = 90°$.
3 - Angles des triangles particuliers
Propriété 3 : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.
Propriété 4 : Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.
Propriété 5 : Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent chacun $\mathbf{60°}$.
Rectangle : 33° + 57° = 90°
Isocèle : deux angles égaux
Équilatéral : 3 × 60° = 180°
Exemple : ABC est isocèle en A avec $\widehat{A} = 40°$. Les angles à la base sont égaux : $\widehat{B} = \widehat{C} = (180° - 40°) \div 2 = 70°$.
4 - Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit
Propriété 6 : Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point O. Ce point est à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle qui passe par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.
- O est sur la médiatrice de [AB], donc OA $=$ OB.
- O est sur la médiatrice de [BC], donc OB $=$ OC.
Donc OA $=$ OB $=$ OC : le cercle de centre O et de rayon OA passe par A, B et C. Pour trouver O, il suffit de tracer deux médiatrices : la troisième passe aussi par leur point d'intersection.