Les aires
1 - Notion d'aire et unités d'aire
Définition 1 : L'aire d'une surface est la mesure de son étendue. Pour la mesurer, on compte combien de fois elle contient une surface unité.
Définition 2 : Le centimètre carré (cm²) est l'aire d'un carré de $1$ cm de côté. De même, le mm², le dm², le m² et le km² sont les aires de carrés de $1$ mm, $1$ dm, $1$ m et $1$ km de côté.
La figure est formée de $7$ carreaux de $1$ cm de côté : son aire est de $7$ cm².
Deux figures de formes différentes peuvent avoir la même aire.
2 - Conversions d'aires
Propriété 1 : Un carré de $1$ cm de côté contient $10 \times 10 = 100$ carrés de $1$ mm de côté. Donc $1$ cm² $= 100$ mm².
Quand l'unité de longueur est $10$ fois plus grande, l'unité d'aire est $10 \times 10 = 100$ fois plus grande :
$1$ cm² $= 100$ mm² ; $1$ dm² $= 100$ cm² ; $1$ m² $= 100$ dm²
$1$ m² $= 100 \times 100$ cm² $= 10~000$ cm² ; $1$ km² $= 1~000 \times 1~000$ m² $= 1~000~000$ m²
- $3$ cm² $= 3 \times 100$ mm² $= 300$ mm²
- $2{,}5$ m² $= 2{,}5 \times 100$ dm² $= 250$ dm²
- $450$ cm² $= 450 \div 100$ dm² $= 4{,}5$ dm²
- $7$ dm² $= 7 \div 100$ m² $= 0{,}07$ m²
Remarque : Attention : $1$ cm² n'est pas égal à $10$ mm². On pense toujours au carré quadrillé pour retrouver la bonne conversion.
3 - Aire du carré et du rectangle
Propriété 2 : L'aire d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ (exprimées dans la même unité) est : $$\mathcal{A} = L \times \ell$$
Propriété 3 : L'aire d'un carré de côté $c$ est : $$\mathcal{A} = c \times c$$
- Rectangle de $5$ cm sur $3$ cm : $3$ rangées de $5$ carreaux, soit $\mathcal{A} = 5 \times 3 = 15$ cm².
- Carré de côté $1{,}2$ m : $\mathcal{A} = 1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44$ m².
- Rectangle de $2$ m sur $40$ cm : on convertit, $2$ m $= 200$ cm, puis $\mathcal{A} = 200 \times 40 = 8~000$ cm².
Remarque : Il ne faut pas confondre aire et périmètre : le rectangle ci-dessus a une aire de $15$ cm² et un périmètre de $2 \times (5 + 3) = 16$ cm.