Comparaison et opérations sur les fractions

1 - Fractions égales

Propriété 1 : Une fraction ne change pas quand on multiplie ou quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$ ($k \neq 0$).

• $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$   • $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$

Diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre s'appelle simplifier une fraction.

2 - Comparer des fractions

Propriété 2 : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Propriété 3 : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

• $\dfrac{5}{7} < \dfrac{6}{7}$ car $5 < 6$.   • $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{8}$ car un quart est plus grand qu'un huitième.

• Pour comparer $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{6}$, on écrit les deux fractions avec le même dénominateur : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{4}{6} < \dfrac{5}{6}$, donc $\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}$.

Propriété 4 : Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur ; égale à 1 si son numérateur est égal à son dénominateur ; supérieure à 1 si son numérateur est plus grand que son dénominateur.

$\dfrac{4}{9} < 1$ car $4 < 9$ ; $\dfrac{7}{7} = 1$ ; $\dfrac{11}{8} > 1$ car $11 > 8$. Donc $\dfrac{4}{9} < \dfrac{11}{8}$.

On compare aussi à $\dfrac{1}{2}$ : $\dfrac{3}{8} < \dfrac{1}{2}$ car la moitié de $8$ est $4$ et $3 < 4$ ; $\dfrac{5}{8} > \dfrac{1}{2}$. Donc $\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}$.

3 - Addition et soustraction de fractions

Propriété 5 : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun : $\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a + b}{d}$ et $\dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{d} = \dfrac{a - b}{d}$.

$\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 + 3}{7} = \dfrac{5}{7}$   ;   $\dfrac{9}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{9 - 4}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$

Propriété 6 : Si un dénominateur est un multiple de l'autre, on écrit d'abord les deux fractions avec le même dénominateur, puis on applique la propriété 5.

• $\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{2}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{7}{8}$   • $\dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{20}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{13}{12}$

Remarque : On n'additionne jamais les dénominateurs : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ et non $\dfrac{2}{4}$.

4 - Produit d'une fraction par un nombre entier

Propriété 7 : Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur par ce nombre et on garde le dénominateur : $k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k \times a}{b}$.

$3 \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{7} = \dfrac{6}{7}$   ;   $4 \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{20 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{5}{3}$