Le sens quotient d'une fraction
1 - Fraction et division
Définition 1 : Dans la fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$), $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur. Le trait horizontal s'appelle le trait de fraction.
Propriété 1 : Une fraction est le résultat d'une division : pour tous nombres entiers $a$ et $b$ (avec $b \neq 0$), $\dfrac{a}{b} = a \div b$.
On partage équitablement $3$ pizzas entre $4$ enfants. Chaque enfant reçoit $3 \div 4$ pizza. On coupe chaque pizza en $4$ parts : chaque enfant reçoit $3$ parts d'un quart, soit $\dfrac{3}{4}$ de pizza.
Un enfant reçoit $3$ quarts. Donc $3 \div 4 = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.
2 - Le quotient de deux nombres entiers
Définition 2 : $a$ et $b$ sont deux nombres entiers, avec $b \neq 0$. Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. On le note $\dfrac{a}{b}$ : $b \times \dfrac{a}{b} = a$.
• $\dfrac{7}{3}$ est le nombre qui, multiplié par $3$, donne $7$ : $3 \times \dfrac{7}{3} = 7$.
• Compléter : $5 \times \dfrac{2}{5} = 2$ ; $9 \times \dfrac{4}{9} = 4$ ; $11 \times \dfrac{6}{11} = 6$.
Remarque : On ne peut pas diviser par $0$ : le dénominateur d'une fraction n'est jamais égal à $0$.
3 - Placer une fraction sur une demi-droite graduée
Propriété 2 : Pour placer la fraction $\dfrac{a}{b}$ sur une demi-droite graduée, on partage l'unité en $b$ parts égales et on reporte $a$ parts à partir de l'origine.
On place les points A$\left(\dfrac{2}{3}\right)$, B$\left(\dfrac{5}{3}\right)$ et C$\left(\dfrac{7}{3}\right)$ : l'unité est partagée en $3$ parts égales.
Partager un segment avec un guide-âne : le guide-âne est un réseau de droites parallèles équidistantes. On place le segment de façon que ses extrémités soient sur deux droites du réseau séparées par $5$ intervalles : les droites intermédiaires le partagent en $5$ parts égales. On peut aussi partager une bande de papier par pliages (en $2$, en $4$, en $8$, …).
4 - Nature d'une fraction
Propriété 3 : Le quotient $\dfrac{a}{b}$ peut être : un nombre entier, si la division de $a$ par $b$ tombe juste sans virgule ; un nombre décimal, si la division décimale de $a$ par $b$ s'arrête ; un nombre non décimal, si la division décimale ne s'arrête jamais.
• $\dfrac{12}{4} = 12 \div 4 = 3$ : c'est un nombre entier.
• $\dfrac{7}{4} = 7 \div 4 = 1{,}75$ : c'est un nombre décimal (on peut écrire $\dfrac{7}{4} = \dfrac{175}{100}$).
• $\dfrac{2}{3} = 2 \div 3 = 0{,}666~6\dots$ : la division ne s'arrête jamais, c'est un nombre non décimal. On en donne une valeur approchée : $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.
Remarque : Un nombre non décimal comme $\dfrac{2}{3}$ ne peut pas s'écrire exactement avec une virgule : on l'écrit sous forme de fraction pour garder sa valeur exacte.