Exercices corrigés : Le rectangle
Exercice 1 : Longueurs
EFGH est un rectangle de centre K avec EF $= 8$ cm, FG $= 6$ cm et EG $= 10$ cm. Donner GH, EH, FH, EK et KF.
Corrigé détaillé :
GH $= 8$ ; EH $= 6$ ; FH $= 10$ ; EK $=$ KF $= 5$ (cm)
Exercice 2 : Périmètre
Un rectangle a un périmètre de $30$ cm et une longueur de $9$ cm. Calculer sa largeur.
Corrigé détaillé :
$30 \div 2 = 15$ ; $15 - 9 = $ $6$ cm.
Exercice 3 : Construction
Construire un rectangle ABCD de centre O tel que AC $= 8$ cm et $\widehat{\text{AOB}} = 70°$. Expliquer.
Corrigé détaillé :
On trace [AC] et son milieu O, puis une droite passant par O faisant $70°$ avec (OA) ; on place B et D sur cette droite à $4$ cm de O : diagonales de même milieu et de même longueur.
Exercice 4 : Angles
ABCD est un rectangle de centre O et $\widehat{\text{OAB}} = 25°$. Calculer $\widehat{\text{OBA}}$, $\widehat{\text{AOB}}$ et $\widehat{\text{OAD}}$.
Corrigé détaillé :
OA $=$ OB donc $\widehat{\text{OBA}} = 25°$ ; $\widehat{\text{AOB}} = 130°$ ; $\widehat{\text{OAD}} = 90 - 25 = 65°$.
Exercice 5 : Reconnaître
Le quadrilatère est-il un rectangle ? a) parallélogramme avec $\widehat{\text{A}} = 90°$ ; b) quadrilatère avec AC $=$ BD ; c) parallélogramme avec AC $=$ BD ; d) quadrilatère avec trois angles droits.
Corrigé détaillé :
a) oui (P4) b) pas forcément c) oui (P3) d) oui
Exercice 6 : Démontrer
MNPQ est un parallélogramme de centre O avec OM $= 3$ cm et ON $= 3$ cm. Démontrer que MNPQ est un rectangle.
Corrigé détaillé :
MP $= 2 \times$ OM $= 6$ et NQ $= 2 \times$ ON $= 6$ : diagonales de même longueur, donc MNPQ est un rectangle (P3).
Exercice 7 : Rectangle et cercle
[AC] et [BD] sont deux diamètres distincts d'un même cercle de centre O. Quelle est la nature de ABCD ? Justifier.
Corrigé détaillé :
Les diagonales ont le même milieu O (parallélogramme) et la même longueur (diamètre) : ABCD est un rectangle.
Exercice 8 : Le carré
Un rectangle RSTU a ses diagonales perpendiculaires. Démontrer que c'est un carré.
Corrigé détaillé :
Un rectangle est un parallélogramme ; avec des diagonales perpendiculaires, c'est un losange (P3 du losange). Rectangle et losange : RSTU est un carré.
Exercice 9 : Classement
Recopier et compléter par « toujours », « parfois » ou « jamais » : a) un carré est un rectangle ; b) un rectangle est un carré ; c) un losange est un parallélogramme ; d) un rectangle a des diagonales perpendiculaires.
Corrigé détaillé :
a) toujours b) parfois c) toujours d) parfois (si c'est un carré)
Exercice 10 : Problème
ABC est un triangle rectangle en B et O est le milieu de [AC]. D est le symétrique de B par rapport à O. Démontrer que ABCD est un rectangle.
Corrigé détaillé :
O est le milieu de [AC] et de [BD] : ABCD est un parallélogramme. Il a un angle droit en B, donc ABCD est un rectangle (P4).