Le rectangle
1 - Définition et propriétés du rectangle
Définition 1 : On appelle rectangle un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Propriété 1 : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur.
Propriété 2 : Si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un parallélogramme.
Justification :
Hypothèse : ABCD est un rectangle. Propriété : un rectangle a quatre angles droits. Conclusion : (AD) $\perp$ (AB) et (AB) $\perp$ (BC).
Hypothèse : (AD) $\perp$ (AB) et (AB) $\perp$ (BC). Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Conclusion : (AD) // (BC). De la même façon, (AB) // (DC).
Hypothèse : (AD) // (BC) et (AB) // (DC). Propriété : un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Conclusion : ABCD est un parallélogramme.
Remarque : Conséquences : les côtés opposés du rectangle ont la même longueur ; ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi OA $=$ OB $=$ OC $=$ OD : les quatre sommets sont sur un cercle de centre O.
AC $=$ BD ; OA $=$ OB $=$ OC $=$ OD
2 - Caractérisation du rectangle
Propriété 3 : Si un parallélogramme a des diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Propriété 4 : Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Remarque : Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle (le quatrième angle mesure $360° - 3 \times 90° = 90°$).
3 - Le carré
Définition 2 : Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange : il a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Ses diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et ont le même milieu.