Exercices corrigés : Le parallélogramme
Exercice 1 : Vocabulaire
ABCD est un parallélogramme. Citer : a) les côtés opposés ; b) les diagonales ; c) les angles opposés.
Corrigé détaillé :
a) [AB] et [DC], [AD] et [BC] b) [AC] et [BD] c) $\widehat{\text{A}}$ et $\widehat{\text{C}}$, $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{D}}$
Exercice 2 : Longueurs
EFGH est un parallélogramme de centre K avec EF $= 6$ cm, FG $= 4$ cm, EG $= 8{,}4$ cm et FH $= 5$ cm. Calculer GH, EH, EK et KH.
Corrigé détaillé :
GH $= 6$ cm ; EH $= 4$ cm ; EK $= 4{,}2$ cm ; KH $= 2{,}5$ cm
Exercice 3 : Angles
RSTU est un parallélogramme et $\widehat{\text{R}} = 64°$. Calculer les trois autres angles.
Corrigé détaillé :
$\widehat{\text{T}} = \widehat{\text{R}} = $ $64°$ (opposés) ; $\widehat{\text{S}} = \widehat{\text{U}} = 180 - 64 = $ $116°$.
Exercice 4 : Construction
Construire un parallélogramme ABCD tel que AB $= 5$ cm, BC $= 3$ cm et $\widehat{\text{ABC}} = 120°$. Expliquer la méthode.
Corrigé détaillé :
On trace [AB], l'angle de $120°$ en B et [BC]. Puis arc de centre C de rayon $5$ cm et arc de centre A de rayon $3$ cm : ils se coupent en D.
Exercice 5 : Diagonales
Construire un parallélogramme MNPQ de centre O tel que MP $= 8$ cm, NQ $= 6$ cm et $\widehat{\text{MON}} = 50°$.
Corrigé détaillé :
On trace [MP] de $8$ cm et son milieu O ; on trace une droite passant par O faisant $50°$ avec (MP) ; on place N et Q à $3$ cm de O de chaque côté. Les diagonales ont le même milieu : c'est un parallélogramme.
Exercice 6 : Reconnaître
Dans chaque cas, ABCD (non croisé) est-il un parallélogramme ? a) AB $=$ CD $= 4$ et AD $=$ BC $= 7$. b) (AB) // (CD) et AD $=$ BC. c) [AC] et [BD] ont le même milieu. d) (AD) // (BC) et AD $=$ BC $= 5$.
Corrigé détaillé :
a) oui (P4) b) pas forcément (trapèze isocèle) c) oui (P5) d) oui (P6)
Exercice 7 : Périmètre
Un parallélogramme a un périmètre de $26$ cm et un côté de $8$ cm. Quelles sont les longueurs des autres côtés ?
Corrigé détaillé :
$26 \div 2 = 13$ ; $13 - 8 = 5$ : $8$ cm, $5$ cm et $5$ cm.
Exercice 8 : Dans un repère
Dans un repère, A$(1~;~1)$, B$(5~;~2)$ et C$(6~;~5)$. Trouver les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Corrigé détaillé :
De B à A : $4$ à gauche, $1$ vers le bas ; on fait pareil depuis C : D$(2~;~4)$.
Exercice 9 : Démonstration
O est le milieu de [AC] et de [BD]. Démontrer que (AB) // (CD) et AB $=$ CD.
Corrigé détaillé :
Les diagonales de ABCD ont le même milieu, donc ABCD est un parallélogramme (P5) ; ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur : (AB) // (CD) et AB $=$ CD.
Exercice 10 : Problème
ABCD est un parallélogramme. E est le symétrique de B par rapport à C. Démontrer que ACED est un parallélogramme.
Corrigé détaillé :
AD $=$ BC (ABCD parallélogramme) et CE $=$ BC, donc AD $=$ CE ; (AD) // (BC) et E est sur (BC), donc (AD) // (CE). Deux côtés parallèles et de même longueur : ACED est un parallélogramme (P6).