Le parallélogramme
1 - Définition et propriétés du parallélogramme
Définition 1 : On appelle parallélogramme un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
(AB) // (DC) et (AD) // (BC). Construction : on trace deux côtés consécutifs puis on construit les parallèles à ces deux côtés.
Remarque : La particularité principale de ce quadrilatère est d'avoir un centre de symétrie. C'est de cette propriété que l'on déduit toutes les autres.
A et A' sont symétriques par rapport à O ; B et B' aussi. On en déduit : 1) O est le milieu de [AA'] et de [BB'] ; 2) [A'B'] et [A'B] sont les symétriques de [AB] et [AB'] : A'B' $=$ AB et A'B $=$ AB' ; 3) les angles opposés sont symétriques : ils ont la même mesure.
Propriété 1 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu.
Propriété 2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Propriété 3 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
ABCD parallélogramme de centre O : OA $=$ OC, OB $=$ OD ; AB $=$ DC, AD $=$ BC ; $\widehat{\text{A}} = \widehat{\text{C}}$ et $\widehat{\text{B}} = \widehat{\text{D}}$.
Remarque : Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires (leur somme vaut $180°$) : c'est une conséquence des angles formés par deux droites parallèles et une sécante.
2 - Caractérisation du parallélogramme
Remarque : Un quadrilatère croisé a deux côtés sécants.
Le quadrilatère ABCD est un quadrilatère croisé.
Propriété 4 : Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Construction au compas : les points A, B et C sont donnés. On trace un arc de cercle de centre C et de rayon BA, et un arc de cercle de centre A et de rayon BC. Ils se coupent en D.
Propriété 5 : Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Construction : les points A, B et C sont donnés. On place O milieu de [AC], puis D symétrique de B par rapport à O.
Propriété 6 : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
(AB) // (CD) et AB $=$ CD, donc ABCD est un parallélogramme.