Calculs avec des fractions

1 - Simplifier et comparer des fractions

Propriété 1 : Le quotient $\dfrac{a}{b}$ ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de zéro : $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c} \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c}$$

Comparer deux fractions : comparons $\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{7}{10}$. Il faut qu'elles aient le même dénominateur : $\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{8}{10}$ et $\dfrac{8}{10} > \dfrac{7}{10}$, donc $\dfrac{4}{5} > \dfrac{7}{10}$.

Simplifier une fraction : $14 = 7 \times 2$ et $10 = 5 \times 2$, d'où $\dfrac{14}{10} = \dfrac{7 \times \cancel{2}}{5 \times \cancel{2}} = \dfrac{7}{5}$.

Diviser par un nombre décimal : $12 \div 0{,}3 = \dfrac{12}{0{,}3} = \dfrac{12 \times 10}{0{,}3 \times 10} = \dfrac{120}{3} = 40$.

Remarque : Quand un calcul contient des divisions avec des nombres décimaux, on commence toujours par se ramener à des fractions de nombres entiers.

2 - Multiplication de fractions

Propriété 2 : Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} \quad (b \neq 0,\ d \neq 0)$$

$\dfrac{7}{5} \times \dfrac{12}{11} = \dfrac{7 \times 12}{5 \times 11} = \dfrac{84}{55}$

Remarque : Avant d'effectuer les multiplications, on essaie de simplifier : on simplifie d'abord, on multiplie ensuite. Exemple : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{2 \times \cancel{3}}{\cancel{3} \times 5} = \dfrac{2}{5}$.

3 - Addition et soustraction de fractions

On ne peut additionner ou soustraire des fractions que si elles ont le même dénominateur.

Propriété 3 : Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur : $$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}$$

  • $\dfrac{27}{5} + \dfrac{14}{5} = \dfrac{27 + 14}{5} = \dfrac{41}{5}$
  • $\dfrac{12}{7} - \dfrac{4}{7} = \dfrac{12 - 4}{7} = \dfrac{8}{7}$

Remarque : Il faut toujours vérifier que la fraction obtenue ne peut pas être simplifiée. Une fraction qui ne peut plus être simplifiée est dite irréductible.

$\dfrac{26}{15} + \dfrac{14}{15} = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8 \times \cancel{5}}{3 \times \cancel{5}} = \dfrac{8}{3}$