Exercices corrigés : Agrandissement et réduction
Exercice 1 : Rapport d'agrandissement ou de réduction
1) Un segment de $5\text{ cm}$ mesure $15\text{ cm}$ après transformation. S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Quel est le rapport $k$ ?
2) Un segment de $20\text{ cm}$ mesure $4\text{ cm}$ après transformation. Quel est le rapport $k$ ?
Corrigé :
1) Comme la longueur finale est supérieure à la longueur initiale ($15 > 5$), c'est un agrandissement de rapport :
$k = \dfrac{15}{5} =$ 3.
2) La longueur finale est plus petite ($4 < 20$), c'est une réduction de rapport :
$k = \dfrac{4}{20} =$ $$\dfrac{1}{5}$$ (soit 0,2).
Exercice 2 : Effet sur les aires : coefficient $k^2$
Une figure a une aire de $12\text{ cm}^2$.
1) On réalise un agrandissement de rapport $k = 3$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?
2) On réalise une réduction de rapport $k = 0{,}5$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?
Corrigé :
Propriété : Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
1) Nouvelle aire : $\mathcal{A}' = \mathcal{A} \times k^2 = 12 \times 3^2 = 12 \times 9 =$ 108 cm².
2) Nouvelle aire : $\mathcal{A}' = 12 \times 0{,}5^2 = 12 \times 0{,}25 =$ 3 cm².
Exercice 3 : Effet sur les volumes : coefficient $k^3$
Un solide a un volume de $250\text{ cm}^3$.
1) On applique un agrandissement de rapport $k = 2$. Quel est le nouveau volume ?
2) Si un autre solide de $800\text{ cm}^3$ subit une réduction de rapport $k = \dfrac{1}{2}$, quel est son volume final ?
Corrigé :
Propriété : Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$.
1) Nouveau volume : $\mathcal{V}' = \mathcal{V} \times k^3 = 250 \times 2^3 = 250 \times 8 =$ 2 000 cm³.
2) Nouveau volume : $\mathcal{V}' = 800 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 800 \times \dfrac{1}{8} =$ 100 cm³.
Exercice 4 : Conservation des angles et du parallélisme
Dans un triangle $ABC$, on a $\widehat{A} = 40^\circ$ et $\widehat{B} = 75^\circ$. Le triangle $A'B'C'$ est un agrandissement de rapport $k = 2{,}5$ du triangle $ABC$.
1) Donner la mesure des angles $\widehat{A'}$, $\widehat{B'}$ et $\widehat{C'}$.
2) Que peut-on dire du parallélisme des côtés correspondants ?
Corrigé :
Propriété : Un agrandissement conserve la mesure des angles, l'alignement et le parallélisme (les angles NE sont PAS multipliés par $k$).
1) Calcul préalable dans $ABC$ :
$\widehat{C} = 180^\circ - (40^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.
Par conservation des angles :
- $$\widehat{A'} = 40^\circ$$
- $$\widehat{B'} = 75^\circ$$
- $$\widehat{C'} = 65^\circ$$
2) Les angles restent identiques, la forme géométrique est conservée et les droites parallèles le restent.
Exercice 5 : Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
On coupe une pyramide de hauteur $SO = 12\text{ cm}$ et d'aire de base $\mathcal{B} = 45\text{ cm}^2$ par un plan parallèle à la base à une distance $SO' = 4\text{ cm}$ du sommet $S$.
1) Quel est le rapport de réduction $k$ de la petite pyramide obtenue ?
2) Calculer l'aire de la section $\mathcal{B}'$.
3) Si le volume total est de $180\text{ cm}^3$, quel est le volume de la petite pyramide ?
Corrigé :
1) Rapport de réduction :
$k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{4}{12} =$ $$\dfrac{1}{3}$$
2) Aire de la section :
$\mathcal{B}' = k^2 \times \mathcal{B} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \times 45 = \dfrac{1}{9} \times 45 =$ 5 cm².
3) Volume de la petite pyramide :
$\mathcal{V}' = k^3 \times \mathcal{V} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times 180 = \dfrac{1}{27} \times 180 = \dfrac{180}{27} =$ $$\dfrac{20}{3}\text{ cm}^3 \approx 6{,}67\text{ cm}^3$$.
Exercice 6 : Section d'un cône de révolution
Un cône de hauteur $15\text{ cm}$ a une base de rayon $6\text{ cm}$. On le coupe à mi-hauteur par un plan parallèle à la base.
1) Quel est le rayon du petit cône obtenu ?
2) Par quelle fraction le volume du cône initial est-il divisé ?
Corrigé :
1) Coupe à mi-hauteur : le rapport de réduction est $k = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Le rayon de la section est : $r' = k \times r = 0{,}5 \times 6 =$ 3 cm.
2) Le volume est multiplié par $k^3$ :
$k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 =$ $$\dfrac{1}{8}$$.
Le volume du petit cône représente donc un huitième du volume initial (il est divisé par 8).
Exercice 7 : Problème d'échelle et de carte
Sur un plan à l'échelle $1 : 200$ :
1) Une pièce rectangulaire mesure $4\text{ cm}$ sur $3\text{ cm}$ sur le plan. Quelles sont ses dimensions réelles en mètres ?
2) Quelle est son aire réelle en $\text{m}^2$ ? Retrouver ce résultat à l'aide de la formule des aires sous agrandissement.
Corrigé :
1) L'échelle 1 : 200 signifie que les longueurs réelles sont $200$ fois plus grandes qu'en dessin ($k = 200$).
• Longueur réelle : $4\text{ cm} \times 200 = 800\text{ cm} =$ 8 m.
• Largeur réelle : $3\text{ cm} \times 200 = 600\text{ cm} =$ 6 m.
2) Aire réelle :
$\mathcal{A} = 8\text{ m} \times 6\text{ m} =$ 48 m².
Vérification par agrandissement :
Aire sur plan : $4 \times 3 = 12\text{ cm}^2 = 0{,}0012\text{ m}^2$.
$\mathcal{A}_{réelle} = 0{,}0012 \times 200^2 = 0{,}0012 \times 40\;000 = 48\text{ m}^2$.
Exercice 8 : Maquette et masse d'une statue
Une maquette en bronze d'une statue mesure $20\text{ cm}$ de haut et pèse $1{,}5\text{ kg}$. La statue réelle, faite dans le même bronze, mesure $1\text{ m}$ de haut.
1) Quel est le rapport d'agrandissement $k$ ?
2) Quelle est la masse de la statue réelle en kilogrammes ?
Corrigé :
1) On convertit dans la même unité : $1\text{ m} = 100\text{ cm}$.
Le rapport d'agrandissement est :
$k = \dfrac{100\text{ cm}}{20\text{ cm}} =$ 5.
2) Comme le matériau est le même (même masse volumique), la masse est proportionnelle au volume, donc multipliée par $k^3$ :
$M = 1{,}5 \times k^3 = 1{,}5 \times 5^3 = 1{,}5 \times 125 =$ 187,5 kg.