Agrandissement – Réduction

I – Proportionnalité des longueurs dans un triangle

Propriété 1 (Théorème de Thalès dans le triangle) : Dans un triangle $ABC$, si $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$, alors les longueurs des côtés des triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles :

A B C M N

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$

Application : Calculer une longueur

Dans le triangle $EFG$, on a $A \in [GE]$, $B \in [GF]$, $(AB) \parallel (EF)$, avec $GE = 6\text{ cm}$, $AB = 4\text{ cm}$ et $EF = 5\text{ cm}$. Calculer $GA$.

• Hypothèse : Dans le triangle $EFG$, $A \in [GE]$, $B \in [GF]$ et $(AB) \parallel (EF)$.

• Propriété : D'après la propriété de Thalès :

$$\dfrac{GA}{GE} = \dfrac{AB}{EF} \implies \dfrac{GA}{6} = \dfrac{4}{5}$$

• Calcul : $$GA = 6 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{5} = \mathbf{4{,}8\text{ cm}}$$

II – Effet sur les aires et les volumes

Propriété 2 : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ ($k > 0$) :

• Les longueurs sont multipliées par $$k$$

• Les aires sont multipliées par $$k^2$$

• Les volumes sont multipliés par $$k^3$$

Exemple :

Si on multiplie toutes les dimensions d'un rectangle de $15\text{ cm}^2$ par $k = 3$ (agrandissement) :

$$\text{Nouvelle aire} = k^2 \times \text{Aire initiale} = 3^2 \times 15 = 9 \times 15 = \mathbf{135\text{ cm}^2}$$