Exercices corrigés : Aires et volumes
Exercice 1 : Aire d'un parallélogramme et d'un triangle
1) Un parallélogramme a une base de $8\text{ cm}$ et une hauteur relative de $4{,}5\text{ cm}$. Calculer son aire.
2) Un triangle a une base de $7\text{ cm}$ et une hauteur associée de $6\text{ cm}$. Calculer son aire.
Corrigé :
1) Aire du parallélogramme :
$\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = 8 \times 4{,}5 =$ 36 cm².
2) Aire du triangle :
$\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{7 \times 6}{2} = \dfrac{42}{2} =$ 21 cm².
Exercice 2 : Aire d'un disque
On considère un disque de rayon $r = 5\text{ cm}$.
1) Donner la valeur exacte de son aire en fonction de $\pi$.
2) Donner la valeur arrondie au centième de centimètre carré.
Corrigé :
1) Formule : $\mathcal{A} = \pi \times r^2 = \pi \times 5^2 = \pi \times 25$.
Valeur exacte : $$25\pi\text{ cm}^2$$
2) Valeur approchée : $25 \times 3{,}14159... \approx 78{,}5398...$
Valeur arrondie au centième : $$78{,}54\text{ cm}^2$$
Exercice 3 : Volume d'un prisme droit
Un prisme droit de hauteur $h = 10\text{ cm}$ a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$.
1) Calculer l'aire de la base.
2) Calculer le volume de ce prisme.
Corrigé :
1) Aire de la base triangulaire :
$\mathcal{B} = \dfrac{3 \times 4}{2} =$ 6 cm².
2) Volume du prisme droit :
$\mathcal{V} = \mathcal{B} \times h = 6 \times 10 =$ 60 cm³.
Exercice 4 : Volume d'un cylindre de révolution
Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de base $r = 4\text{ cm}$ et une hauteur $h = 12\text{ cm}$.
1) Calculer son volume exact en fonction de $\pi$.
2) En déduire sa contenance en centilitres (arrondie à l'unité), sachant que $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$.
Corrigé :
1) Volume d'un cylindre : $\mathcal{V} = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 12 = \pi \times 16 \times 12$.
Valeur exacte : $$192\pi\text{ cm}^3$$
2) Valeur approchée : $192 \times 3{,}14159... \approx 603{,}19\text{ cm}^3 = 603{,}19\text{ mL}$.
Conversion en centilitres : $603{,}19\text{ mL} \approx 60{,}3\text{ cL}$.
Contenance arrondie : 60 cL.
Exercice 5 : Volume d'une pyramide
Une pyramide a pour base un carré de côté $6\text{ cm}$ et une hauteur de $8\text{ cm}$.
Calculer son volume.
Corrigé :
• Aire de la base carrée : $\mathcal{B} = 6 \times 6 = 36\text{ cm}^2$.
• Volume de la pyramide :
$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 8 = 12 \times 8 =$ 96 cm³.
Exercice 6 : Volume d'un cône de révolution
Un cône de révolution a pour rayon de base $r = 3\text{ cm}$ et pour hauteur $h = 7\text{ cm}$.
1) Donner son volume exact en fonction de $\pi$.
2) Donner la valeur arrondie au dixième de centimètre cube.
Corrigé :
1) Formule : $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 7 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 7 = 3 \times 7 \times \pi$.
Valeur exacte : $$21\pi\text{ cm}^3$$
2) Valeur approchée : $21 \times 3{,}14159... \approx 65{,}97...$
Valeur arrondie au dixième : $$66{,}0\text{ cm}^3$$
Exercice 7 : Aire et volume d'une boule / sphère
Une boule a un rayon $R = 6\text{ cm}$.
1) Calculer l'aire de la sphère correspondante (valeur exacte puis arrondie à l'unité).
2) Calculer le volume de la boule (valeur exacte puis arrondie à l'unité).
Corrigé :
1) Aire de la sphère : $\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4 \times \pi \times 6^2 = 4 \times 36 \times \pi = 144\pi\text{ cm}^2$.
Arrondi à l'unité : $144 \times 3{,}14159... \approx$ 452 cm².
2) Volume de la boule : $\mathcal{V} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3} \times 216 \times \pi = 288\pi\text{ cm}^3$.
Arrondi à l'unité : $288 \times 3{,}14159... \approx$ 905 cm³.
Exercice 8 : Problème : remplissage d'un aquarium
Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur $60\text{ cm}$, largeur $30\text{ cm}$ et hauteur $40\text{ cm}$.
1) Calculer son volume total en $\text{cm}^3$ puis en litres ($1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3$).
2) On le remplit d'eau jusqu'à $5\text{ cm}$ du bord supérieur. Quel est le volume d'eau contenu en litres ?
Corrigé :
1) Volume total :
$\mathcal{V} = 60 \times 30 \times 40 = 72\;000\text{ cm}^3$.
Comme $1\text{ L} = 1000\text{ cm}^3$, $\mathcal{V} =$ 72 L.
2) La hauteur d'eau est de $40 - 5 = 35\text{ cm}$.
Volume d'eau : $\mathcal{V}_{eau} = 60 \times 30 \times 35 = 63\;000\text{ cm}^3 = $ 63 L.