Exercices corrigés : Puissances et écriture scientifique
Exercice 1 : Calcul direct de puissances
Calculer les puissances suivantes sans calculatrice :
1) $2^4$
2) $(-3)^3$
3) $(-5)^2$
4) $-4^2$
5) $10^5$
6) $10^{-3}$
Corrigé :
1) $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ 16
2) $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) =$ -27
3) $(-5)^2 = (-5) \times (-5) =$ 25
4) $-4^2 = -(4 \times 4) =$ -16
5) $10^5 =$ 100 000
6) $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} =$ 0,001
Exercice 2 : Propriétés des puissances de 10
Écrire sous la forme d'une seule puissance de 10 :
1) $A = 10^4 \times 10^7$
2) $B = 10^{-5} \times 10^9$
3) $C = \dfrac{10^8}{10^3}$
4) $D = \dfrac{10^{-2}}{10^4}$
5) $E = (10^3)^4$
6) $F = \dfrac{10^6 \times 10^{-2}}{10^{-5}}$
Corrigé :
1) $A = 10^{4+7} =$ $$10^{11}$$
2) $B = 10^{-5+9} =$ $$10^4$$
3) $C = 10^{8-3} =$ $$10^5$$
4) $D = 10^{-2-4} =$ $$10^{-6}$$
5) $E = 10^{3 \times 4} =$ $$10^{12}$$
6) $F = \dfrac{10^4}{10^{-5}} = 10^{4 - (-5)} =$ $$10^9$$
Exercice 3 : Règles sur les puissances d'un nombre relatif
Écrire sous la forme $a^n$ où $a$ est un nombre et $n$ un entier relatif :
1) $3^5 \times 3^4$
2) $\dfrac{7^9}{7^3}$
3) $(5^2)^3$
4) $2^3 \times 5^3$
Corrigé :
1) $3^{5+4} =$ $$3^9$$
2) $7^{9-3} =$ $$7^6$$
3) $5^{2 \times 3} =$ $$5^6$$
4) $(2 \times 5)^3 =$ $$10^3$$
Exercice 4 : Conversion en écriture scientifique
Donner la notation scientifique $a \times 10^p$ ($1 \le a < 10$) des nombres :
1) $45\;000$
2) $0{,}0038$
3) $784{,}5$
4) $0{,}000052$
5) $63 \times 10^5$
6) $0{,}049 \times 10^{-3}$
Corrigé :
1) $45\;000 =$ $$4{,}5 \times 10^4$$
2) $0{,}0038 =$ $$3{,}8 \times 10^{-3}$$
3) $784{,}5 =$ $$7{,}845 \times 10^2$$
4) $0{,}000052 =$ $$5{,}2 \times 10^{-5}$$
5) $63 \times 10^5 = 6{,}3 \times 10^1 \times 10^5 =$ $$6{,}3 \times 10^6$$
6) $0{,}049 \times 10^{-3} = 4{,}9 \times 10^{-2} \times 10^{-3} =$ $$4{,}9 \times 10^{-5}$$
Exercice 5 : Calculs en notation scientifique
Calculer et donner le résultat sous forme scientifique :
1) $A = (3 \times 10^4) \times (5 \times 10^6)$
2) $B = \dfrac{12 \times 10^8}{4 \times 10^3}$
3) $C = \dfrac{2{,}4 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^8}{3 \times 10^2}$
Corrigé :
1) $A = (3 \times 5) \times 10^{4+6} = 15 \times 10^{10} =$ $$1{,}5 \times 10^{11}$$
2) $B = \dfrac{12}{4} \times 10^{8-3} =$ $$3 \times 10^5$$
3) $C = \dfrac{2{,}4 \times 5}{3} \times \dfrac{10^3}{10^2} = \dfrac{12}{3} \times 10^1 = 4 \times 10^1 =$ $$4 \times 10^1$$ (soit 40)
Exercice 6 : Ordres de grandeur et encadrement
Pour chaque nombre, donner son ordre de grandeur et un encadrement par deux puissances de 10 consécutives :
1) $X = 4\;780\;000$
2) $Y = 0{,}00082$
Corrigé :
1) $X = 4{,}78 \times 10^6$.
Encadrement : $$10^6 < X < 10^7$$
Comme $4{,}78 < 5$, l'ordre de grandeur est $$10^6$$.
2) $Y = 8{,}2 \times 10^{-4}$.
Encadrement : $$10^{-4} < Y < 10^{-3}$$
Comme $8{,}2 \ge 5$, l'ordre de grandeur est $$10^{-3}$$.
Exercice 7 : Application en astronomie : trajet de la lumière
La lumière voyage à la vitesse de $v = 3 \times 10^5\text{ km/s}$.
1) La distance Terre-Soleil est $d = 1{,}5 \times 10^8\text{ km}$. Combien de secondes met la lumière du Soleil pour parvenir à la Terre ? Convertir en minutes et secondes.
2) Calculer la distance d'une année-lumière en kilomètres sous forme scientifique (considérer 365 jours de 24 h).
Corrigé :
1) Temps : $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = 0{,}5 \times 10^3 = 500\text{ s}$.
Comme $500 = 8 \times 60 + 20$, cela fait 8 minutes et 20 secondes.
2) Secondes dans une année : $T = 365 \times 24 \times 3600 = 31\;536\;000\text{ s} = 3{,}1536 \times 10^7\text{ s}$.
Distance : $D = v \times T = (3 \times 10^5) \times (3{,}1536 \times 10^7) =$ $$9{,}4608 \times 10^{12}\text{ km}$$.
Exercice 8 : Unités de stockage informatique
En informatique dans le système international, $1\text{ ko} = 10^3\text{ octets}$, $1\text{ Mo} = 10^6\text{ octets}$, $1\text{ Go} = 10^9\text{ octets}$ et $1\text{ To} = 10^{12}\text{ octets}$.
1) Une photo numérique pèse $4\text{ Mo}$. Combien d'octets cela représente-t-il sous forme scientifique ?
2) Combien de photos de ce type peut-on stocker sur une clé USB de $32\text{ Go}$ ?
3) Un disque dur externe fait $2\text{ To}$. À combien de clés USB de $32\text{ Go}$ cela équivaut-il ?
Corrigé :
1) $4\text{ Mo} =$ $$4 \times 10^6\text{ octets}$$
2) Nombre de photos : $\dfrac{32 \times 10^9}{4 \times 10^6} = 8 \times 10^3 =$ 8 000 photos
3) Capacité : $2\text{ To} = 2000\text{ Go}$.
Nombre de clés : $\dfrac{2000}{32} =$ 62,5 clés