I – Définitions et conventions
Définition 1 : Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier positif $n$ :
Si $n = 0$ alors $$a^0 = 1$$
Si $n = 1$ alors $$a^1 = a$$
Si $n > 1$ alors $$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs } a}$$
Exemples & Vocabulaire :
• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ (se lit « 2 au cube ») ; $5^2 = 25$ (se lit « 5 au carré »)
• $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ ; $(-3)^4 = 81$
• $2^0 = 1$ ; $(-7)^0 = 1$ ; $\left(\dfrac{4}{7}\right)^0 = 1$
Priorité de l'exposant :
L'exposant est toujours prioritaire sur les multiplications, divisions et additions/soustractions :
$$-2^5 = -(2^5) = -32 \qquad 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \qquad 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$$
Définition 2 (Exposant négatif) : Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier relatif $n$, $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$ :
$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$
Exemples : $5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ ; $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ ; $\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1} = \dfrac{7}{3}$.
II – Règles de calcul sur les puissances
Propriétés : Pour tous nombres non nuls $a, b$ et entiers relatifs $m, n$ :
Produits
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
$$a^n \times b^n = (a \times b)^n$$
Quotients
$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$$
Puissance de puissance
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
Exemples d'application :
• $10^3 \times 10^2 = 10^{3+2} = 10^5$ ; $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$
• $\dfrac{7^4}{7^2} = 7^{4-2} = 7^2 = 49$ ; $\dfrac{4^3}{4^{-1}} = 4^{3 - (-1)} = 4^4 = 256$
• $(2^4)^5 = 2^{4 \times 5} = 2^{20}$ ; $(3^{-2})^3 = 3^{-6} = \dfrac{1}{3^6}$
III – Puissances de 10 & Écriture scientifique
Propriété (Puissances de 10) : Pour tout entier positif $n$ :
$$10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}} \qquad 10^{-n} = \underbrace{0{,}0\dots0}_{n \text{ zéros au total}}1$$
Définition (Écriture scientifique) : L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est son unique écriture sous la forme :
$$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leqslant |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$$
($a$ est un décimal ayant un unique chiffre non nul avant la virgule).
Tableau d'exemples :
| Écriture décimale |
Écriture scientifique |
| 3 843 | $3{,}843 \times 10^3$ |
| 0,07 | $7 \times 10^{-2}$ |
| -82 500 | $-8{,}25 \times 10^4$ |
| 0,417 | $4{,}17 \times 10^{-1}$ |
I – Definitions and Conventions
Définition 1 : Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier positif $n$ :
Si $n = 0$ alors $$a^0 = 1$$
Si $n = 1$ alors $$a^1 = a$$
Si $n > 1$ alors $$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs } a}$$
Exemples & Vocabulaire :
• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ (se lit « 2 au cube ») ; $5^2 = 25$ (se lit « 5 au carré »)
• $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ ; $(-3)^4 = 81$
• $2^0 = 1$ ; $(-7)^0 = 1$ ; $\left(\dfrac{4}{7}\right)^0 = 1$
Priorité de l'exposant :
L'exposant est toujours prioritaire sur les multiplications, divisions et additions/soustractions :
$$-2^5 = -(2^5) = -32 \qquad 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \qquad 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$$
Définition 2 (Exposant négatif) : Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier relatif $n$, $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$ :
$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$
Exemples : $5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ ; $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ ; $\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1} = \dfrac{7}{3}$.
II – Rules of Powers
Propriétés : Pour tous nombres non nuls $a, b$ et entiers relatifs $m, n$ :
Produits
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
$$a^n \times b^n = (a \times b)^n$$
Quotients
$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$$
Puissance de puissance
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
Exemples d'application :
• $10^3 \times 10^2 = 10^{3+2} = 10^5$ ; $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$
• $\dfrac{7^4}{7^2} = 7^{4-2} = 7^2 = 49$ ; $\dfrac{4^3}{4^{-1}} = 4^{3 - (-1)} = 4^4 = 256$
• $(2^4)^5 = 2^{4 \times 5} = 2^{20}$ ; $(3^{-2})^3 = 3^{-6} = \dfrac{1}{3^6}$
III – Powers of 10 & Scientific Notation
Propriété (Puissances de 10) : Pour tout entier positif $n$ :
$$10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}} \qquad 10^{-n} = \underbrace{0{,}0\dots0}_{n \text{ zéros au total}}1$$
Définition (Écriture scientifique) : L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est son unique écriture sous la forme :
$$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leqslant |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$$
($a$ est un décimal ayant un unique chiffre non nul avant la virgule).
Tableau d'exemples :
| Écriture décimale |
Écriture scientifique |
| 3 843 | $3{,}843 \times 10^3$ |
| 0,07 | $7 \times 10^{-2}$ |
| -82 500 | $-8{,}25 \times 10^4$ |
| 0,417 | $4{,}17 \times 10^{-1}$ |
I – Definiciones y convenciones
Définition 1 : Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier positif $n$ :
Si $n = 0$ alors $$a^0 = 1$$
Si $n = 1$ alors $$a^1 = a$$
Si $n > 1$ alors $$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs } a}$$
Exemples & Vocabulaire :
• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ (se lit « 2 au cube ») ; $5^2 = 25$ (se lit « 5 au carré »)
• $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$ ; $(-3)^4 = 81$
• $2^0 = 1$ ; $(-7)^0 = 1$ ; $\left(\dfrac{4}{7}\right)^0 = 1$
Priorité de l'exposant :
L'exposant est toujours prioritaire sur les multiplications, divisions et additions/soustractions :
$$-2^5 = -(2^5) = -32 \qquad 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \qquad 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$$
Définition 2 (Exposant négatif) : Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier relatif $n$, $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$ :
$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$
Exemples : $5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ ; $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ ; $\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1} = \dfrac{7}{3}$.
II – Reglas de cálculo con potencias
Propriétés : Pour tous nombres non nuls $a, b$ et entiers relatifs $m, n$ :
Produits
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
$$a^n \times b^n = (a \times b)^n$$
Quotients
$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$$
Puissance de puissance
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$
Exemples d'application :
• $10^3 \times 10^2 = 10^{3+2} = 10^5$ ; $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$
• $\dfrac{7^4}{7^2} = 7^{4-2} = 7^2 = 49$ ; $\dfrac{4^3}{4^{-1}} = 4^{3 - (-1)} = 4^4 = 256$
• $(2^4)^5 = 2^{4 \times 5} = 2^{20}$ ; $(3^{-2})^3 = 3^{-6} = \dfrac{1}{3^6}$
III – Potencias de 10 y notación científica
Propriété (Puissances de 10) : Pour tout entier positif $n$ :
$$10^n = 1\underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}} \qquad 10^{-n} = \underbrace{0{,}0\dots0}_{n \text{ zéros au total}}1$$
Définition (Écriture scientifique) : L'écriture scientifique d'un nombre décimal non nul est son unique écriture sous la forme :
$$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leqslant |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$$
($a$ est un décimal ayant un unique chiffre non nul avant la virgule).
Tableau d'exemples :
| Écriture décimale |
Écriture scientifique |
| 3 843 | $3{,}843 \times 10^3$ |
| 0,07 | $7 \times 10^{-2}$ |
| -82 500 | $-8{,}25 \times 10^4$ |
| 0,417 | $4{,}17 \times 10^{-1}$ |