Exercices corrigés : Calcul littéral
Exercice 1 : Réduction d'expressions littérales
Réduire au maximum les expressions :
1) $A = 5x + 3x - 4x$
2) $B = 4x^2 - 7x + 2x^2 + 5x - 3$
3) $C = 3a - 5b + 7 - 8a + 2b - 12$
Corrigé :
1) $A = (5 + 3 - 4)x =$ $$4x$$
2) $B = (4 + 2)x^2 + (-7 + 5)x - 3 =$ $$6x^2 - 2x - 3$$
3) $C = (3 - 8)a + (-5 + 2)b + (7 - 12) =$ $$-5a - 3b - 5$$
Exercice 2 : Simple distributivité : $k(a + b)$
Développer et réduire :
1) $D = 4(3x - 5)$
2) $E = -3x(2x + 7)$
3) $F = -2(4 - 5x) + 3(2x - 1)$
Corrigé :
1) $D = 4 \times 3x - 4 \times 5 =$ $$12x - 20$$
2) $E = -3x \times 2x + (-3x) \times 7 =$ $$-6x^2 - 21x$$
3) $F = -8 + 10x + 6x - 3 =$ $$16x - 11$$
Exercice 3 : Double distributivité : $(a + b)(c + d)$
Développer et réduire :
1) $G = (x + 3)(x + 5)$
2) $H = (2x - 4)(3x + 1)$
3) $I = (3x - 2)(5 - 4x)$
Corrigé :
1) $G = x^2 + 5x + 3x + 15 =$ $$x^2 + 8x + 15$$
2) $H = 6x^2 + 2x - 12x - 4 =$ $$6x^2 - 10x - 4$$
3) $I = 15x - 12x^2 - 10 + 8x =$ $$-12x^2 + 23x - 10$$
Exercice 4 : Suppression des parenthèses
Supprimer les parenthèses puis réduire :
1) $J = 7x + (3 - 2x)$
2) $K = 5x - (4 - 3x)$
3) $L = (2x^2 - 5x + 1) - (3x^2 - 8x - 4)$
Corrigé :
1) $J = 7x + 3 - 2x =$ $$5x + 3$$
2) $K = 5x - 4 + 3x =$ $$8x - 4$$
3) $L = 2x^2 - 5x + 1 - 3x^2 + 8x + 4 =$ $$-x^2 + 3x + 5$$
Exercice 5 : Factorisation par un facteur commun
Factoriser chaque expression :
1) $M = 15x + 20$
2) $N = 7x^2 - 14x$
3) $P = 4(x + 2) + x(x + 2)$
4) $Q = (2x - 3)(x + 5) - (2x - 3)(3x - 1)$
Corrigé :
1) Facteur commun 5 : $M =$ $$5(3x + 4)$$
2) Facteur commun $7x$ : $N =$ $$7x(x - 2)$$
3) Facteur commun $(x + 2)$ : $P =$ $$(x + 2)(4 + x)$$
4) Facteur commun $(2x - 3)$ :
$Q = (2x - 3)[(x + 5) - (3x - 1)] = (2x - 3)(x + 5 - 3x + 1) =$ $$(2x - 3)(-2x + 6)$$
Exercice 6 : Calcul de la valeur numérique
Soit l'expression $E = 3x^2 - 5x + 4$.
Calculer la valeur de $E$ pour :
1) $x = 2$
2) $x = -3$
3) $x = 0$
Corrigé :
1) Pour $x = 2$ :
$E = 3 \times 2^2 - 5 \times 2 + 4 = 12 - 10 + 4 =$ $$6$$
2) Pour $x = -3$ :
$E = 3 \times (-3)^2 - 5 \times (-3) + 4 = 3 \times 9 + 15 + 4 = 27 + 15 + 4 =$ $$46$$
3) Pour $x = 0$ :
$E = 3(0)^2 - 5(0) + 4 =$ $$4$$
Exercice 7 : Programme de calcul
On donne le programme :
- Choisir un nombre
- Ajouter 4
- Multiplier le résultat par 3
- Soustraire 12 au résultat
1) Tester ce programme avec 5 puis avec -2. Que remarque-t-on ?
2) Si $x$ est le nombre choisi au départ, exprimer le résultat en fonction de $x$. Démontrer la conjecture.
Corrigé :
1) Tests :
• Avec 5 : $(5 + 4) \times 3 - 12 = 27 - 12 = 15 = 3 \times 5$.
• Avec -2 : $(-2 + 4) \times 3 - 12 = 6 - 12 = -6 = 3 \times (-2)$.
On remarque que le résultat est toujours le triple du nombre de départ.
2) Pour un nombre $x$ quelconque :
$R = 3(x + 4) - 12 = 3x + 12 - 12 =$ $$3x$$.
La conjecture est donc démontrée pour tout nombre.
Exercice 8 : Démonstration en calcul littéral
Démontrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Corrigé :
Soit $n$ un nombre entier. Trois entiers consécutifs s'écrivent : $n$, $n + 1$ et $n + 2$.
Leur somme est :
$S = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$.
Comme $n+1$ est un nombre entier, $S$ est le produit de 3 par un entier.
Par conséquent, la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.