Nombres relatifs
Un nombre relatif est composé d'un signe (+ ou –), suivi d'une valeur numérique composée de chiffres et éventuellement d'une virgule.
En général, on l'écrit entre parenthèses pour éviter les confusions de signe dans les calculs.
I – Addition
Propriété 1 : Si les nombres sont positifs, alors on additionne les valeurs numériques et la somme est positive.
Exemples :
$(+3) + (+5) = (+8)$
$(+7{,}2) + (+2{,}4) = (+9{,}6)$
Propriété 2 : Si les nombres sont négatifs, alors on additionne les valeurs numériques et la somme est négative.
Exemples :
$(-2) + (-7) = (-9)$
$(-4{,}32) + (-3{,}25) = (-7{,}57)$
Propriété 3 : Si les nombres sont de signes contraires, alors on soustrait les valeurs numériques et on garde le signe associé à la plus grande valeur numérique.
Exemples :
II – Soustraction
Définition 1 : Tout nombre relatif possède un opposé. L'opposé du nombre $a$ est le nombre $(-a)$ tel que :
Exemples :
| Nombre $a$ | Opposé de $a$ | Vérification $a + (-a)$ |
|---|---|---|
| $(+1)$ | $(-1)$ | $(+1) + (-1) = 0$ |
| $(-2)$ | $(-(-2)) = (+2)$ | $(-2) + (+2) = 0$ |
| $0$ | $0$ | $0 + 0 = 0$ |
Définition 2 : Soustraire un nombre $b$ d'un nombre $a$, c'est additionner le nombre $a$ et l'opposé du nombre $b$.
Exemples :
$(+4) - (+3) = (+4) + (-3) = (+1)$ car $(-3)$ est l'opposé de $(+3)$.
$(+7) - (-2) = (+7) + (+2) = (+9)$ car $(+2)$ est l'opposé de $(-2)$.
$(-2{,}5) - (+5{,}4) = (-2{,}5) + (-5{,}4) = (-7{,}9)$
Remarque : Lorsque dans un calcul, il y a une succession d'additions et de soustractions, on commence toujours par « transformer » les soustractions en addition de l'opposé, puis on effectue les calculs.
Exemple :
III – Multiplication
Propriété 4 : Le produit de deux nombres de même signe est positif.
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
Exemples :
$(+3) \times (+4) = (+12) \quad \text{et} \quad (-3) \times (-4) = (+12)$
$(-3) \times (+4) = (-12) \quad \text{et} \quad (+3) \times (-4) = (-12)$
On en déduit :
Le produit d'un nombre pair de nombres négatifs est positif :
Le produit d'un nombre impair de nombres négatifs est négatif :
Propriété 5 : La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction.
Les parenthèses (ou crochets) modifient les priorités opératoires.
Exemples :
$(-2) + (-5) \mathbin{\color{#b91c1c}{\times}} (+3) = (-2) + (-15) = (-17)$
$(-2) - (-5) \mathbin{\color{#b91c1c}{\times}} (+3) = (-2) - (-15) = (-2) + (+15) = (+13)$
$(-5) \times \color{#b91c1c}{[}(+3) \mathbin{\color{#b91c1c}{+}} (-2)\color{#b91c1c}{]} = (-5) \times (+1) = (-5)$
$(-5) \times \color{#b91c1c}{[}(+3) \mathbin{\color{#b91c1c}{-}} (-2)\color{#b91c1c}{]} = (-5) \times \color{#b91c1c}{[}(+3) \mathbin{\color{#b91c1c}{+}} (+2)\color{#b91c1c}{]} = (-5) \times (+5) = (-25)$
IV – Division
Définition 3 : On appelle inverse du nombre relatif $a$ différent de $0$, le nombre noté $\dfrac{1}{a}$ tel que $a \times \dfrac{1}{a} = 1$.
Exemples :
Si $a = 5$ alors $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{5}$ ; l'inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$ et on a bien $5 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$.
Si $a = (-2)$ alors $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{-2}$ ; l'inverse de $(-2)$ est $\dfrac{1}{-2}$ et on a $-2 \times \dfrac{1}{-2} = \dfrac{-2}{-2} = 1$.
Définition 4 : On dit qu'on divise un nombre relatif $a$ par un nombre relatif $b$ différent de $0$ lorsqu'on multiplie $a$ par l'inverse de $b$.
Exemples :
On en déduit que la règle des signes est identique pour la multiplication et la division.
De plus, on a ainsi relié la division des nombres relatifs et la multiplication des fractions.
Propriété 6 : Le quotient de deux nombres de même signe est positif.
Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
Exemple :
On constate que l'écriture est très lourde à manipuler. Il semble donc intéressant d'utiliser une écriture simplifiée des nombres relatifs lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté :