Exercices corrigés : Propriété de Thalès
Exercice 1 : Triangles emboîtés : calcul d'un côté
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient à $[AB]$ et le point $N$ appartient à $[AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne : $AB = 7{,}5\text{ cm}$, $AM = 3\text{ cm}$ et $AC = 10\text{ cm}$.
Calculer la longueur $AN$, puis en déduire la longueur $NC$.
Corrigé détaillé :
Dans le triangle $ABC$ avec $(MN) \parallel (BC)$, d'après le théorème de Thalès :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$
En remplaçant par les valeurs connues :
$$\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{AN}{10} \implies AN = \dfrac{3 \times 10}{7{,}5} = \dfrac{30}{7{,}5} = 4\text{ cm}$$
Pour $NC$ : $N$ appartenant au segment $[AC]$ :
$$NC = AC - AN = 10 - 4 = 6\text{ cm}$$
Exercice 2 : Calcul du côté parallèle $MN$
En reprenant la même figure qu'à l'exercice 1 ($AM = 3$, $AB = 7{,}5$ et $(MN) \parallel (BC)$), sachant de plus que $BC = 12\text{ cm}$, calculer la longueur $MN$.
Corrigé détaillé :
D'après les égalités de rapports de Thalès :
$$\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} \implies \dfrac{MN}{12} = \dfrac{3}{7{,}5}$$
Par produit en croix :
$$MN = \dfrac{12 \times 3}{7{,}5} = \dfrac{36}{7{,}5} = 4{,}8\text{ cm}$$
Exercice 3 : Configuration papillon : calcul de distances
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en un point $O$. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne : $OA = 5\text{ cm}$, $OB = 7{,}5\text{ cm}$, $OD = 4\text{ cm}$ et $AD = 6\text{ cm}$.
Calculer les longueurs $OC$ et $BC$.
Corrigé détaillé :
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$, et $(AD) \parallel (BC)$. D'après Thalès en configuration papillon :
$$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OD}{OC} = \dfrac{AD}{BC}$$
$$\dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{4}{OC} = \dfrac{6}{BC}$$
Calcul de $OC$ :
$$OC = \dfrac{7{,}5 \times 4}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\text{ cm}$$
Calcul de $BC$ :
$$BC = \dfrac{7{,}5 \times 6}{5} = \dfrac{45}{5} = 9\text{ cm}$$
Exercice 4 : Piège fréquent : segment partiel sur le côté
Soit un triangle $ABC$ avec $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ tels que $(MN) \parallel (BC)$.
On donne : $AM = 4\text{ cm}$, $MB = 6\text{ cm}$ et $AN = 5\text{ cm}$.
Calculer la longueur totale $AC$, puis la longueur $NC$.
Corrigé détaillé :
Attention ! Pour appliquer Thalès, il faut utiliser la longueur totale du côté $[AB]$ :
$$AB = AM + MB = 4 + 6 = 10\text{ cm}$$
D'après le théorème de Thalès :
$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \implies \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{AC}$$
$$AC = \dfrac{10 \times 5}{4} = \dfrac{50}{4} = 12{,}5\text{ cm}$$
On en déduit :
$$NC = AC - AN = 12{,}5 - 5 = 7{,}5\text{ cm}$$
Exercice 5 : Problème historique : mesure de la hauteur d'une pyramide
Pour mesurer la hauteur d'une grande tour inaccessible, on plante verticalement un bâton de $2\text{ m}$ de haut à proximité. À la même heure, l'ombre du bâton au sol mesure $1{,}6\text{ m}$ et l'ombre de la tour mesure $36\text{ m}$.
Quelle est la hauteur de la tour ?
Corrigé détaillé :
Les rayons du Soleil étant parallèles entre eux et les obstacles étant verticaux perpendiculaires au sol horizontal, la configuration relève du théorème de Thalès :
$$\dfrac{\text{Hauteur tour}}{\text{Hauteur bâton}} = \dfrac{\text{Ombre tour}}{\text{Ombre bâton}}$$
Soit $H$ la hauteur de la tour :
$$\dfrac{H}{2} = \dfrac{36}{1{,}6} \implies H = \dfrac{2 \times 36}{1{,}6} = \dfrac{72}{1{,}6} = 45\text{ mètres}$$
La tour mesure $45\text{ mètres}$ de hauteur.
Exercice 6 : Exercice combiné : Pythagore puis Thalès
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$.
Un point $M$ est placé sur $[AB]$ avec $AM = 2\text{ cm}$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M$ coupe $[BC]$ en $N$.
1. Calculer la longueur $BC$.
2. Démontrer que $(MN) \parallel (AC)$.
3. Calculer les longueurs $MN$ et $BN$.
Corrigé détaillé :
1. Longueur $BC$ : D'après Pythagore dans $ABC$ :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies BC = 10\text{ cm}$$
2. Parallélisme : $(AC) \perp (AB)$ et $(MN) \perp (AB)$. Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, donc $(MN) \parallel (AC)$.
3. Calculs avec Thalès :
Comme $M \in [AB]$, $BM = AB - AM = 6 - 2 = 4\text{ cm}$.
D'après Thalès dans le sommet $B$ :
$$\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{MN}{AC} \implies \dfrac{4}{6} = \dfrac{BN}{10} = \dfrac{MN}{8}$$
$$BN = \dfrac{4 \times 10}{6} = \dfrac{40}{6} = \dfrac{20}{3}\text{ cm} \approx 6{,}67\text{ cm}$$
$$MN = \dfrac{4 \times 8}{6} = \dfrac{32}{6} = \dfrac{16}{3}\text{ cm} \approx 5{,}33\text{ cm}$$
Exercice 7 : Agrandissement et réduction d'un triangle
Soient deux triangles emboîtés $AMN$ et $ABC$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On sait que $AM = 3\text{ cm}$ et $AB = 9\text{ cm}$.
1. Quel est le rapport de réduction $k$ du triangle $AMN$ par rapport au triangle $ABC$ ?
2. Si le périmètre de $ABC$ est de $24\text{ cm}$, quel est le périmètre de $AMN$ ?
3. Si l'aire de $ABC$ est de $36\text{ cm}^2$, quelle est l'aire de $AMN$ ?
Corrigé détaillé :
1. Rapport de réduction :
$$k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$$
2. Périmètre : Les longueurs sont multipliées par $k$ :
$$\mathcal{P}_{AMN} = k \times \mathcal{P}_{ABC} = \dfrac{1}{3} \times 24 = 8\text{ cm}$$
3. Aire : Les aires sont multipliées par $k^2$ :
$$\mathcal{A}_{AMN} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \times 36 = \dfrac{1}{9} \times 36 = 4\text{ cm}^2$$
Exercice 8 : Problème d'arpentage : largeur d'une rivière
Pour mesurer la largeur $d$ d'une rivière inaccessible entre deux points $A$ et $B$, un géomètre place des jalons sur la rive accessible selon une configuration papillon : les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $O$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont telles que $(AC) \parallel (BD)$.
On mesure : $OA = 30\text{ m}$, $OB = 12\text{ m}$ et $BD = 18\text{ m}$.
Calculer la distance $AC$ (largeur du fleuve entre $A$ et $C$).
Corrigé détaillé :
D'après le théorème de Thalès :
$$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{BD} \implies \dfrac{30}{12} = \dfrac{AC}{18}$$
Par produit en croix :
$$AC = \dfrac{30 \times 18}{12} = \dfrac{540}{12} = 45\text{ mètres}$$
La largeur mesurée est de $45\text{ m}$.