Propriété de Thalès

Propriété : Soit $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ des points distincts du plan.

$$\text{Si } \begin{cases} (MB) \text{ et } (NC) \text{ sont sécantes en } A \\ \text{et } (MN) \mathbin{/\mkern-2mu/} (BC) \end{cases} \quad \text{alors} \quad \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$

Configuration 1 (emboîtée)

A M N B C

Configuration 2 (papillon)

A N M B C

Configuration 3 (prolongée)

A B C M N

Application : Calculer une longueur

Exemple 1 : Configuration emboîtée

$AB = 6\text{ cm}$, $AE = 4{,}8\text{ cm}$, $BC = 1{,}5\text{ cm}$ et les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles. Calculer $EF$.

A E B F C ? 1,5 cm

Hypothèse : $(EB)$ et $(FC)$ sécantes en $A$, avec $(EF) \mathbin{/\mkern-2mu/} (BC)$.

D'après Thalès : $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{EF}{BC}$

$$\dfrac{4{,}8}{6} = \dfrac{EF}{1{,}5} \iff EF = \dfrac{4{,}8 \times 1{,}5}{6} = \color{#b91c1c}{1{,}2\text{ cm}}$$

Exemple 2 : Configuration papillon

$OA = 2{,}5\text{ cm}$, $OB = 3\text{ cm}$, $OC = 2\text{ cm}$ et les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles. Calculer $OD$.

A C O D B

Hypothèse : $(AB)$ et $(CD)$ sécantes en $O$, avec $(AC) \mathbin{/\mkern-2mu/} (BD)$.

D'après Thalès : $\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{AC}{BD}$

$$\dfrac{2{,}5}{3} = \dfrac{2}{OD} \iff OD = \dfrac{2 \times 3}{2{,}5} = \color{#b91c1c}{2{,}4\text{ cm}}$$