Exercices corrigés : Équations du premier degré
Exercice 1 : Équations de base de type $ax + b = c$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1. $4x - 7 = 17$
2. $-3x + 11 = 2$
Corrigé détaillé :
1. $4x - 7 = 17$ :
$$4x = 17 + 7 \iff 4x = 24 \iff x = \dfrac{24}{4} = 6$$
2. $-3x + 11 = 2$ :
$$-3x = 2 - 11 \iff -3x = -9 \iff x = \dfrac{-9}{-3} = 3$$
Exercice 2 : Équations de type $ax + b = cx + d$
Résoudre les équations suivantes :
1. $7x - 5 = 2x + 15$
2. $3x + 8 = 8x - 12$
Corrigé détaillé :
1. $7x - 5 = 2x + 15$ :
$$7x - 2x = 15 + 5 \iff 5x = 20 \iff x = 4$$
2. $3x + 8 = 8x - 12$ :
$$3x - 8x = -12 - 8 \iff -5x = -20 \iff x = \dfrac{-20}{-5} = 4$$
Exercice 3 : Équations avec parenthèses à développer
Développer puis résoudre les équations :
1. $3(2x - 4) = 5(x - 1)$
2. $4 - 2(3x + 1) = 5x - (x - 6)$
Corrigé détaillé :
1. $3(2x - 4) = 5(x - 1)$ :
$$6x - 12 = 5x - 5 \iff 6x - 5x = -5 + 12 \iff x = 7$$
2. $4 - 2(3x + 1) = 5x - (x - 6)$ :
$$4 - 6x - 2 = 5x - x + 6 \iff -6x + 2 = 4x + 6$$
$$-6x - 4x = 6 - 2 \iff -10x = 4 \iff x = -\dfrac{4}{10} = -0{,}4 = -\dfrac{2}{5}$$
Exercice 4 : Équations avec des fractions
Résoudre les équations en réduisant au même dénominateur :
1. $\dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{2x + 1}{6}$
2. $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{x + 5}{6}$
Corrigé détaillé :
1. Produit en croix ou dénominateur $12$ :
$$6(x - 3) = 4(2x + 1) \iff 6x - 18 = 8x + 4$$
$$6x - 8x = 4 + 18 \iff -2x = 22 \iff x = -11$$
2. Dénominateur commun $6$ :
$$\dfrac{4x}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{x + 5}{6} \iff 4x - 3 = x + 5$$
$$3x = 8 \iff x = \dfrac{8}{3}$$
Exercice 5 : Problème d'âges
Un père a $42$ ans et son fils a $12$ ans.
Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il exactement le double de celui de son fils ?
Corrigé détaillé :
Soit $x$ le nombre d'années cherché.
Dans $x$ années :
- L'âge du père sera $42 + x$.
- L'âge du fils sera $12 + x$.
On pose l'équation :
$$42 + x = 2(12 + x)$$
$$42 + x = 24 + 2x \iff 42 - 24 = 2x - x \iff x = 18$$
Conclusion : Ce sera dans $18$ ans (le père aura $60$ ans et le fils aura $30$ ans).
Exercice 6 : Problème de géométrie : périmètre d'un rectangle
Un rectangle a une longueur qui mesure $5\text{ cm}$ de plus que sa largeur. Son périmètre vaut $46\text{ cm}$.
Quelles sont les dimensions (longueur et largeur) de ce rectangle ?
Corrigé détaillé :
Soit $x$ la largeur du rectangle en cm.
La longueur mesure alors $x + 5$.
Périmètre : $P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 2(x + x + 5) = 2(2x + 5) = 4x + 10$.
Équation :
$$4x + 10 = 46 \iff 4x = 36 \iff x = 9$$
Conclusion :
La largeur mesure $9\text{ cm}$ et la longueur mesure $9 + 5 = 14\text{ cm}$.
Vérification : $2 \times (9 + 14) = 2 \times 23 = 46\text{ cm}$.
Exercice 7 : Problème de tarifs et comparaison de forfaits
Un club de sport propose deux tarifs pour l'année :
- Tarif A : Pas d'abonnement, $8\,\text{€}$ par séance.
- Tarif B : Un abonnement annuel de $45\,\text{€}$ plus $5\,\text{€}$ par séance.
Pour quel nombre de séances les deux tarifs reviennent-ils exactement au même prix ?
Corrigé détaillé :
Soit $x$ le nombre de séances.
Coût Tarif A : $8x$.
Coût Tarif B : $5x + 45$.
On cherche $x$ tel que :
$$8x = 5x + 45 \iff 8x - 5x = 45 \iff 3x = 45 \iff x = \dfrac{45}{3} = 15$$
Les deux tarifs coûtent le même prix pour $15$ séances (soit $120\,\text{€}$).
Exercice 8 : Cas particuliers : aucune ou infinité de solutions
Résoudre les deux équations suivantes et interpréter le résultat :
1. $2(3x - 1) = 6x + 5$
2. $5(x + 2) - 3 = 2x + 3(x + 2) + 1$
Corrigé détaillé :
1. $2(3x - 1) = 6x + 5$ :
$$6x - 2 = 6x + 5 \iff 6x - 6x = 5 + 2 \iff 0x = 7$$
L'égalité $0 = 7$ étant impossible quel que soit $x$, l'équation n'a aucune solution (ensemble vide $\emptyset$).
2. $5(x + 2) - 3 = 2x + 3(x + 2) + 1$ :
$$5x + 10 - 3 = 2x + 3x + 6 + 1 \iff 5x + 7 = 5x + 7 \iff 0x = 0$$
L'égalité $0 = 0$ étant toujours vraie pour n'importe quel réel $x$, l'équation admet une infinité de solutions (tous les nombres réels $\mathbb{R}$).