Équations du 1er Degré

1 - La règle d'addition

Propriété 1 : Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute à ses deux membres un même nombre relatif.

$$\text{Si } a = b\text{, alors } a + c = b + c$$

Application : Transposer un terme d'un membre à l'autre

Règle pratique : Tout terme peut changer de membre à condition de changer son signe (c'est-à-dire d'ajouter son opposé aux deux membres).

  • Résoudre $x + 37 = 56$ :
    $$x + 37 = 56 \iff x = 56 - 37 \iff \color{#b91c1c}{x = 19}$$

    Le terme $+37$ passe dans le membre de droite en devenant $-37$.

  • Résoudre $(-2x) + 5 = 3x$ :
    $$(-2x) + 5 = 3x \iff 5 = 3x + 2x \iff \color{#b91c1c}{5 = 5x}$$

    Le terme $-2x$ passe dans le membre de droite en devenant $+2x$.

2 - La règle de multiplication

Propriété 2 : Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie ses deux membres par un même nombre non nul.

$$\text{Si } a = b \text{ et } c \neq 0\text{, alors } a \times c = b \times c$$

Application : Supprimer les dénominateurs d'une équation

Pour résoudre une équation comportant des fractions, on multiplie tous les termes des deux membres par un dénominateur commun afin d'obtenir des coefficients entiers.

Exemple : Résoudre l'équation $\dfrac{5}{2} + x = \dfrac{7}{2}x$.

On multiplie les deux membres par $2$ :

$$2 \times \left(\dfrac{5}{2} + x\right) = 2 \times \left(\dfrac{7}{2}x\right) \iff 2 \times \dfrac{5}{2} + 2 \times x = 2 \times \dfrac{7}{2}x \iff \color{#b91c1c}{5 + 2x = 7x}$$

Application : Isoler l'inconnue et trouver la valeur de $1x$

Pour trouver la valeur de $x$ dans l'équation $ax = b$ (avec $a \neq 0$), on divise les deux membres par $a$ (ou on multiplie par son inverse $\dfrac{1}{a}$).

  • Résoudre $3x = 7$ :
    $$3x = 7 \iff \dfrac{3x}{3} = \dfrac{7}{3} \iff \color{#b91c1c}{1x = \dfrac{7}{3}}$$
  • Résoudre $-\dfrac{5}{2}x = 4$ :
    $$-\dfrac{5}{2}x = 4 \iff x = 4 \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) \iff \color{#b91c1c}{1x = -\dfrac{8}{5}}$$

3 - Méthode de résolution d'une équation

Méthode : Résolution pas à pas de l'équation $3x + 2 = -7x + 5$

Pour résoudre une équation du premier degré, on applique successivement les étapes suivantes :

Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite

On utilise la règle d'addition en transposant :

  • Le terme $-7x$ passe à gauche et devient $+7x$ :
    $$3x + 7x + 2 = 5 \iff 10x + 2 = 5$$
  • Le terme $+2$ passe à droite et devient $-2$ :
    $$10x = 5 - 2 \iff \color{#b91c1c}{10x = 3}$$

Étape 2 : Trouver la valeur de $1x$

On divise les deux membres par le coefficient de $x$ (ici $10$) :

$$\dfrac{10x}{10} = \dfrac{3}{10} \iff \color{#b91c1c}{1x = \dfrac{3}{10}}$$

Étape 3 : Conclure avec une phrase

Conclusion : La solution de l'équation est $\dfrac{3}{10}$.

Étape 4 : Vérifier la solution

On remplace $x$ par $\dfrac{3}{10}$ dans chacun des deux membres de l'équation de départ :

Membre de gauche : $$3 \times \dfrac{3}{10} + 2 = \dfrac{9}{10} + \dfrac{20}{10} = \color{#b91c1c}{\dfrac{29}{10}}$$
Membre de droite : $$-7 \times \dfrac{3}{10} + 5 = -\dfrac{21}{10} + \dfrac{50}{10} = \color{#b91c1c}{\dfrac{29}{10}}$$

Les deux membres sont égaux ($\dfrac{29}{10} = \dfrac{29}{10}$), l'égalité est vérifiée.

4 - Cas particuliers de l'équation $0x = a$

Remarque importante : Cas particuliers de l'équation $0x = a$

Lors de la résolution, si les termes en $x$ s'annulent pour donner une équation de la forme $0x = a$ :

  • Si $a = 0$ ($0x = 0$) : Tout nombre multiplié par $0$ donne $0$. L'égalité est toujours vraie.
    Conclusion : Tous les nombres réels sont solutions (infinité de solutions).
  • Si $a \neq 0$ ($0x = a$ avec $a \neq 0$) : Aucun nombre multiplié par $0$ ne peut donner un résultat différent de $0$. L'égalité est impossible.
    Conclusion : L'équation n'a aucune solution.

Exemple : Résoudre $3x + 1 = 3x - 5$ :

$$3x - 3x = -5 - 1 \iff \color{#b91c1c}{0x = -6}$$

Comme $0x$ vaut toujours $0$, il est impossible que $0 = -6$. Cette équation n'admet aucune solution.