Exercices corrigés : Division euclidienne et arithmétique
Exercice 1 : Division euclidienne
1. Écrire l'égalité de la division euclidienne de $389$ par $15$. Préciser le quotient et le reste.
2. Dans une division euclidienne, le diviseur est $12$, le quotient est $27$ et le reste est $8$. Quel est le dividende ?
Corrigé détaillé :
1. Division de $389$ par $15$ :
$389 = 15 \times 25 + 14$.
Comme $14 < 15$, le quotient est $q = 25$ et le reste est $r = 14$.
2. Recherche du dividende :
$$a = b \times q + r = 12 \times 27 + 8 = 324 + 8 = 332$$
Exercice 2 : Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
On considère le nombre $N = 4\,725$.
1. Sans poser de division, justifier si $N$ est divisible par $2$, par $3$, par $5$ et par $9$.
2. Donner la liste de tous les diviseurs de $28$.
Corrigé détaillé :
1. Étude de $N = 4\,725$ :
- Par 2 : Non, car le dernier chiffre est $5$ (impair).
- Par 5 : Oui, car il se termine par $5$.
- Par 3 et 9 : Somme des chiffres : $4 + 7 + 2 + 5 = 18$. Comme $18$ est un multiple de $3$ et de $9$, $N$ est divisible par 3 et par 9.
2. Diviseurs de $28$ :
Les diviseurs positifs de $28$ sont : $\{1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28\}$.
Exercice 3 : Décomposition en produit de facteurs premiers
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres entiers suivants :
$$a = 84 \quad ; \quad b = 360 \quad ; \quad c = 588$$
Corrigé détaillé :
Pour $a = 84$ :
$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Pour $b = 360$ :
$360 = 36 \times 10 = (4 \times 9) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
Pour $c = 588$ :
$588 = 2 \times 294 = 2 \times 2 \times 147 = 4 \times 3 \times 49 = 2^2 \times 3 \times 7^2$.
Exercice 4 : Simplification de fraction par décomposition
À l'aide des décompositions en facteurs premiers de $84$ et $588$ obtenues à l'exercice précédent, rendre irréductible la fraction :
$$F = \dfrac{84}{588}$$
Corrigé détaillé :
On remplace le numérateur et le dénominateur par leurs produits de facteurs premiers :
$$F = \dfrac{2^2 \times 3 \times 7}{2^2 \times 3 \times 7^2} = \dfrac{1}{7}$$
La forme irréductible est donc : $$F = \dfrac{1}{7}$$
Exercice 5 : Problème : composition de bouquets de fleurs (PGCD)
Un fleuriste dispose de $126$ roses rouges et de $180$ tulipes blanches. Il souhaite composer des bouquets identiques, contenant tous le même nombre de roses et le même nombre de tulipes, en utilisant toutes les fleurs.
1. Quel est le nombre maximal de bouquets qu'il peut réaliser ?
2. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?
Corrigé détaillé :
1. Nombre maximal de bouquets :
Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à $126$ et $180$. Pour qu'il soit maximal, c'est le $\text{PGCD}(126, 180)$.
Décompositions :
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
$\text{PGCD}(126, 180) = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.
Il peut composer au maximum $18$ bouquets.
2. Composition de chaque bouquet :
Roses : $126 \div 18 = 7\text{ roses}$.
Tulipes : $180 \div 18 = 10\text{ tulipes}$.
Exercice 6 : Test de primalité
1. Le nombre $137$ est-il un nombre premier ? Justifier soigneusement la méthode employée.
2. Le nombre $221$ est-il premier ?
Corrigé détaillé :
1. Pour $137$ :
On calcule $\sqrt{137} \approx 11{,}7$. On teste la divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $11$ : $2, 3, 5, 7, 11$.
- $137$ est impair (non divisible par $2$).
- $1 + 3 + 7 = 11$ (non divisible par $3$).
- Ne se termine ni par $0$ ni par $5$ (non divisible par $5$).
- $137 = 7 \times 19 + 4$ (non divisible par $7$).
- $137 = 11 \times 12 + 5$ (non divisible par $11$).
Comme $137$ n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée, $137$ est un nombre premier.
2. Pour $221$ :
$\sqrt{221} \approx 14{,}8$. On teste $2, 3, 5, 7, 11, 13$.
Or $221 = 13 \times 17$. Donc $221$ n'est pas premier.
Exercice 7 : Problème d'engrenages et périodicité (PPCM)
Deux roues dentées en contact ont respectivement $24$ et $36$ dents. Au départ, deux repères marqués sur chaque roue coïncident au point de contact.
Après combien de tours de chaque roue les deux repères se retrouveront-ils à nouveau ensemble au point de contact pour la première fois ?
Corrigé détaillé :
Le nombre total de dents ayant défilé doit être un multiple commun de $24$ et $36$. Pour que ce soit la première fois, on cherche le plus petit multiple commun (PPCM).
$24 = 2^3 \times 3$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$\text{PPCM}(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\text{ dents}$.
Nombre de tours pour chaque roue :
- Petite roue ($24$ dents) : $72 \div 24 = 3\text{ tours}$.
- Grande roue ($36$ dents) : $72 \div 36 = 2\text{ tours}$.
Exercice 8 : Démonstration arithmétique : somme d'entiers consécutifs
1. On note $n$ un entier naturel. Comment s'écrivent les deux entiers qui le suivent immédiatement ?
2. Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Corrigé détaillé :
1. Écriture des entiers :
Les deux entiers suivants sont $n + 1$ et $n + 2$.
2. Calcul de la somme :
$$S = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$$
Comme $n + 1$ est un entier, $S$ est de la forme $3 \times k$ (avec $k = n + 1$).
Par conséquent, la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.