La Division Euclidienne

I - Division euclidienne et diviseurs

Définition 1 : Effectuer la division euclidienne d'un entier positif ou nul $m$ par un entier strictement positif $n$, c'est trouver les entiers positifs appelés quotient $q$ et reste $r$ tels que :

$$m = n \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant r < n$$

Application : Division euclidienne de $423$ par $19$

Effectuons la division euclidienne de $423$ par $19$ :

Le quotient est 22 et le reste est 5.

On a l'égalité :

$$423 = 19 \times 22 + 5 \quad \text{et} \quad 5 < 19$$
4 2 3 19
- 3 8   22
0 4 3
- 3 8
0 5

Remarque : L'autre division s'appelle la division décimale.

Définition 2 : On dit que $n$ est un diviseur de $m$ lorsque le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$ est égal à zéro. Il existe un nombre entier positif $q$ tel que :

$$m = n \times q$$

Application : Diviseur d'un nombre entier

$25$ est un diviseur de $150$. En effet, $150 \div 25 = 6$.
Le reste de la division euclidienne de $150$ par $25$ est égal à $0$, donc $150 = 25 \times 6$.

Vocabulaire : Les phrases suivantes ont la même signification :

  • $n$ est un diviseur de $m$.
  • $n$ divise $m$.
  • $m$ est un multiple de $n$.
  • $m$ est divisible par $n$.

II - Nombres premiers et crible d'Ératosthène

Définition 3 : On dit qu'un nombre est premier lorsqu'il a exactement $2$ diviseurs : $1$ et lui-même.

Application : Reconnaître un nombre premier (Crible d'Ératosthène)

Pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à $97$, on écrit les entiers de $2$ à $97$ ($1$ n'est pas premier, rayé en gris) :

  • On garde 2 et on raye ses multiples en bleu ($4, 6, 8\dots$).
  • On garde 3 et on raye ses multiples non rayés en vert ($9, 15, 21\dots$).
  • On garde 5 et on raye ses multiples non rayés en orange ($25, 35, 55\dots$).
  • On garde 7 et on raye ses multiples non rayés en violet ($49, 77, 91$).

Comme $11^2 = 121 > 97$, on s'arrête à $7$ : tous les nombres non rayés restants (en rouge) sont les nombres premiers jusqu'à $97$.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97

Remarques :

  • Les nombres premiers inférieurs à $30$ à connaître sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
  • Le nombre 1 n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur ($1$).
  • Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

III - Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété 1 : Tout nombre entier supérieur ou égal à $2$ se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers (à l'ordre des facteurs près).

Application : Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Décomposons le nombre $84$ en produit de facteurs premiers.

On effectue des divisions successives par les nombres premiers ($2, 3, 5, 7\dots$) :

On a donc :

$$84 = 2^2 \times 3 \times 7$$
842
422
213
77
1

IV - Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles

Définition 4 : On dit que des nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est $1$.

Application : Nombres premiers entre eux

$15$ et $14$ sont premiers entre eux. En effet :

$$15 = 3 \times 5 \quad \text{et} \quad 14 = 2 \times 7$$

Les diviseurs de $15$ sont $1, 3, 5, 15$ ; les diviseurs de $14$ sont $1, 2, 7, 14$.
$15$ et $14$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$, donc $15$ et $14$ sont premiers entre eux.

Propriété 2 : Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers, puis on simplifie.

Application : Rendre une fraction irréductible

Rendons la fraction $\dfrac{84}{126}$ irréductible à l'aide des décompositions en facteurs premiers :

$$84 = 2^2 \times 3 \times 7 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 \quad \text{et} \quad 126 = 2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$$
$$\dfrac{84}{126} = \dfrac{\cancel{2} \times 2 \times \cancel{3} \times \cancel{7}}{\cancel{2} \times \cancel{3} \times 3 \times \cancel{7}} = \color{#b91c1c}{\dfrac{2}{3}}$$

Application : Trouver tous les diviseurs d'un nombre

Exemple : Trouver tous les diviseurs de $60$.

$60 = 1 \times 60$ $60 = 2 \times 30$ $60 = 3 \times 20$ $60 = 4 \times 15$ $60 = 5 \times 12$ $60 = 6 \times 10$

La liste ordonnée des diviseurs de $60$ est donc : $\{1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4 \;;\; 5 \;;\; 6 \;;\; 10 \;;\; 12 \;;\; 15 \;;\; 20 \;;\; 30 \;;\; 60\}$.