Exercices corrigés : Calculs avec des fractions
Exercice 1 : Simplification et fractions irréductibles
Rendre irréductibles les fractions suivantes en détaillant les étapes de simplification :
$$A = \dfrac{48}{72} \quad ; \quad B = \dfrac{135}{180} \quad ; \quad C = \dfrac{126}{198}$$
Corrigé détaillé :
Pour $A$ : On remarque que $48$ et $72$ sont divisibles par $24$ :
$$A = \dfrac{48}{72} = \dfrac{24 \times 2}{24 \times 3} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{2}{3}}}$$
Pour $B$ : On simplifie successivement par $9$ puis par $5$ (ou directement par $45$) :
$$B = \dfrac{135}{180} = \dfrac{45 \times 3}{45 \times 4} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{3}{4}}}$$
Pour $C$ : $126 = 18 \times 7$ et $198 = 18 \times 11$ :
$$C = \dfrac{126}{198} = \dfrac{18 \times 7}{18 \times 11} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{7}{11}}}$$
Pour $A$ : On remarque que $48$ et $72$ sont divisibles par $24$ :
$$A = \dfrac{48}{72} = \dfrac{24 \times 2}{24 \times 3} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{2}{3}}}$$
Pour $B$ : On simplifie successivement par $9$ puis par $5$ (ou directement par $45$) :
$$B = \dfrac{135}{180} = \dfrac{45 \times 3}{45 \times 4} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{3}{4}}}$$
Pour $C$ : $126 = 18 \times 7$ et $198 = 18 \times 11$ :
$$C = \dfrac{126}{198} = \dfrac{18 \times 7}{18 \times 11} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{7}{11}}}$$
Exercice 2 : Addition et soustraction de fractions
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
$$D = \dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{18} \quad ; \quad E = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{7}{10}$$
Corrigé détaillé :
Calcul de $D$ : Le dénominateur commun est $18$ ($18 = 6 \times 3$) :
$$D = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3} - \dfrac{7}{18} = \dfrac{15 - 7}{18} = \dfrac{8}{18}$$
En simplifiant par $2$ : $$D = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{4}{9}}}$$
Calcul de $E$ : Le dénominateur commun entre $4$, $5$ et $10$ est $20$ :
$$E = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} + \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} - \dfrac{7 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{15 + 8 - 14}{20} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{9}{20}}}$$
Exercice 3 : Multiplication de fractions et simplifications préalables
Calculer en simplifiant avant d'effectuer les multiplications :
$$F = \dfrac{14}{15} \times \dfrac{25}{21} \quad ; \quad G = -\dfrac{16}{27} \times \left(-\dfrac{9}{20}\right)$$
Corrigé détaillé :
Pour $F$ : On décompose pour simplifier :
$$F = \dfrac{14 \times 25}{15 \times 21} = \dfrac{(2 \times 7) \times (5 \times 5)}{(3 \times 5) \times (3 \times 7)} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 3} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{10}{9}}}$$
Pour $G$ : Le produit de deux nombres négatifs est positif :
$$G = + \dfrac{16 \times 9}{27 \times 20} = \dfrac{(4 \times 4) \times 9}{(3 \times 9) \times (4 \times 5)} = \dfrac{4}{3 \times 5} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{4}{15}}}$$
Exercice 4 : Division de fractions et inverses
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Calculer :
$$H = \dfrac{8}{15} \div \dfrac{4}{25} \quad ; \quad I = \dfrac{\dfrac{2}{3} - 1}{\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2}}$$
Corrigé détaillé :
Calcul de $H$ :
$$H = \dfrac{8}{15} \times \dfrac{25}{4} = \dfrac{(2 \times 4) \times (5 \times 5)}{(3 \times 5) \times 4} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{10}{3}}}$$
Calcul de $I$ :
Numérateur : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{3} = -\dfrac{1}{3}$
Dénominateur : $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$
D'où :
$$I = \left(-\dfrac{1}{3}\right) \div \left(\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = {\color{#b91c1c} \mathbf{-\dfrac{1}{4}}}$$
Exercice 5 : Priorités opératoires avec les fractions
Effectuer les calculs suivants en respectant les priorités opératoires :
$$J = \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} \quad ; \quad K = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \times \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}\right)$$
Corrigé détaillé :
Pour $J$ : La multiplication est prioritaire sur la soustraction :
$$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times (2 \times 2)} = \dfrac{5}{6}$$
Puis la soustraction avec dénominateur commun $6$ :
$$J = \dfrac{7 \times 2}{3 \times 2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{14 - 5}{6} = \dfrac{9}{6} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{3}{2}}}$$
Pour $K$ : Calcul des parenthèses d'abord :
Première parenthèse : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$
Deuxième parenthèse : $\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}$
Produit : $$K = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{7}{12} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{35}{72}}}$$
Exercice 6 : Problème : partage d'un héritage
Une somme d'argent de $72\,000\,\text{€}$ est partagée entre trois héritiers :
- Alice reçoit les $\dfrac{2}{5}$ de la somme totale.
- Bob reçoit les $\dfrac{3}{8}$ de la somme totale.
- Chloé reçoit le reste.
1. Quelle fraction de la somme totale reçoit Chloé ?
2. Calculer le montant reçu par chaque héritier.
Corrigé détaillé :
1. Fraction reçue par Chloé :
Part d'Alice et Bob ensemble :
$$\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{16}{40} + \dfrac{15}{40} = \dfrac{31}{40}$$
Part restante pour Chloé :
$$1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{40 - 31}{40} = {\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{9}{40}}}$$
2. Montants reçus :
Alice : $72\,000 \times \dfrac{2}{5} = {\color{#b91c1c} \mathbf{28\,800\text{ €}}}$
Bob : $72\,000 \times \dfrac{3}{8} = {\color{#b91c1c} \mathbf{27\,000\text{ €}}}$
Chloé : $72\,000 \times \dfrac{9}{40} = {\color{#b91c1c} \mathbf{16\,200\text{ €}}}$
Vérification : $28\,800 + 27\,000 + 16\,200 = 72\,000\text{ €}$.
Exercice 7 : Problème : fraction d'un reste
Un cycliste fait une randonnée de trois jours :
- Le 1er jour, il parcourt le tiers ($\dfrac{1}{3}$) du parcours total.
- Le 2e jour, il parcourt les trois quarts ($\dfrac{3}{4}$) du reste.
- Le 3e jour, il lui reste $24\text{ km}$ à parcourir.
Quelle est la longueur totale du parcours ?
Corrigé détaillé :
Après le premier jour, il reste : $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ du parcours.
Le 2e jour, il parcourt :
$$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\text{ du parcours total}$$
Après deux jours, la fraction totale parcourue est :
$$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}$$
Il reste donc pour le 3e jour :
$$1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}\text{ du parcours}$$
Comme $\dfrac{1}{6}$ correspond à $24\text{ km}$, la distance totale est :
$$d = 24 \times 6 = {\color{#b91c1c} \mathbf{144\text{ km}}}$$
Exercice 8 : Comparaison et encadrement de fractions
1. Ranger les fractions suivantes dans l'ordre croissant sans utiliser de calculatrice :
$$\dfrac{7}{12} \quad ; \quad \dfrac{3}{4} \quad ; \quad \dfrac{5}{6} \quad ; \quad \dfrac{11}{24}$$
2. Trouver une fraction strictement comprise entre $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{4}{5}$.
Corrigé détaillé :
1. Réduction au même dénominateur $24$ :
$$\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24} \quad ; \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{24} \quad ; \quad \dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24} \quad ; \quad \dfrac{11}{24}$$
Comme $11 < 14 < 18 < 20$, on a l'ordre croissant :
$${\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{11}{24} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}}}$$
2. Fraction intermédiaire :
On multiplie numérateur et dénominateur par $2$ :
$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} \quad \text{et} \quad \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10}$$
Le nombre $\dfrac{7}{10}$ convient parfaitement :
$${\color{#b91c1c} \mathbf{\dfrac{3}{5} < \dfrac{7}{10} < \dfrac{4}{5}}}$$