Calculs avec des fractions
I - Égalité et simplification de fractions
Propriété 1 : Le quotient $\dfrac{a}{b}$ ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de zéro.
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c} \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c}$$
Application : Comparer deux fractions
Comparons les fractions $\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{7}{10}$.
Pour comparer des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur :
$$
\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{8}{10} \;; \quad \dfrac{8}{10} > \dfrac{7}{10} \quad \text{donc on peut conclure que} \quad \color{#b91c1c}{\dfrac{4}{5} > \dfrac{7}{10}}
$$
Application : Simplifier une fraction
Simplifions la fraction $\dfrac{14}{10}$ :
$$
\dfrac{14}{10} = \dfrac{7 \times \cancel{2}}{5 \times \cancel{2}} = \color{#b91c1c}{\dfrac{7}{5}}
$$
II - Addition et soustraction de fractions
Propriété 2 : Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur.
$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times d} + \dfrac{b \times c}{b \times d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d} \quad \text{et} \quad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times d} - \dfrac{b \times c}{b \times d} = \dfrac{a \times d - b \times c}{b \times d}$$
Application : Additionner et soustraire deux fractions
$$
\dfrac{3}{7} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{3 \times 8}{7 \times 8} + \dfrac{5 \times 7}{8 \times 7} = \dfrac{24}{56} + \dfrac{35}{56} = \dfrac{24 + 35}{56} = \color{#b91c1c}{\dfrac{59}{56}}
$$
$$
\dfrac{-7}{15} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{-7 \times 4}{15 \times 4} - \dfrac{1 \times 15}{4 \times 15} = \dfrac{-28}{60} - \dfrac{15}{60} = \dfrac{-28 - 15}{60} = \color{#b91c1c}{-\dfrac{43}{60}}
$$
III - Multiplication de fractions
Propriété 3 : Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$
Remarque : On traite d'abord les signes, puis on cherche d'éventuelles simplifications et enfin on effectue les multiplications.
Application : Multiplier deux fractions
$$
\dfrac{-3}{10} \times \dfrac{40}{5} = -\dfrac{3 \times 40}{10 \times 5} = -\dfrac{3 \times 4 \times \cancel{10}}{\cancel{10} \times 5} = -\dfrac{3 \times 4}{5} = \color{#b91c1c}{-\dfrac{12}{5}}
$$
IV - Inverse et division de fractions
Définition 1 : L'inverse de la fraction $\dfrac{a}{b}$ ($a \neq 0$ et $b \neq 0$) est la fraction $\dfrac{b}{a}$.
Propriété 4 : Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres relatifs quelconques ; si $b$, $c$ et $d$ sont différents de $0$ alors :
$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{\;\dfrac{a}{b}\;}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$
Application : Diviser deux fractions
$$
\dfrac{5}{3} \div \dfrac{7}{2} = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{5 \times 2}{3 \times 7} = \color{#b91c1c}{\dfrac{10}{21}}
$$
$$
-\dfrac{2}{7} \div \left(\dfrac{-4}{3}\right) = -\dfrac{2}{7} \times \left(\dfrac{3}{-4}\right) = \dfrac{2 \times 3}{7 \times 4} = \dfrac{\cancel{2} \times 3}{7 \times \cancel{2} \times 2} = \dfrac{3}{7 \times 2} = \color{#b91c1c}{\dfrac{3}{14}}
$$