Exercices : Rappels en géométrie de collège
Exercice 1 : Triangle rectangle et symétrie
- Construire un triangle ABC tel que $AB=7,5$ cm, $AC=6$ cm et $BC=4,5$ cm.
- Construire le point D, image du point B par la symétrie d'axe (AC).
- Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
- Démontrer que C est le milieu du segment [BD].
Corrigé :
1 & 2. Construction de la figure :
3. On calcule les carrés des longueurs des côtés du triangle ABC :
$AB^2 = 7,5^2 = 56,25$
$AC^2 + BC^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$
Comme $AB^2 = AC^2 + BC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
4. Le point D est le symétrique de B par rapport à l'axe (AC). Cela signifie que (AC) est la médiatrice de [BD].
Par définition de la symétrie axiale, la droite (BD) est perpendiculaire à l'axe (AC).
Or, on a démontré que (BC) est perpendiculaire à (AC).
Les droites (BD) et (BC) sont donc parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (AC). Comme elles passent toutes les deux par le point B, elles sont confondues. Les points B, C et D sont donc alignés.
De plus, la symétrie axiale conserve les longueurs, donc $CD = BC$.
Puisque les points sont alignés et que $CD=BC$, on peut conclure que C est le milieu de [BD].
Exercice 2 : Aire et hauteur
Le triangle BUC est rectangle en U. On donne $BU=16$ et $BC=20$. La hauteur issue de U coupe (BC) en H.
- Calculer la longueur UC.
- Calculer l'aire du triangle BUC, puis en déduire la longueur UH.
Corrigé :
1. Dans le triangle BUC rectangle en U, d'après le théorème de Pythagore :
$BC^2 = BU^2 + UC^2$
$20^2 = 16^2 + UC^2 \implies 400 = 256 + UC^2 \implies UC^2 = 144$.
Donc $UC = \sqrt{144} = $ 12.
2. L'aire d'un triangle rectangle est le produit des côtés de l'angle droit divisé par 2 :
Aire(BUC) = $\frac{BU \times UC}{2} = \frac{16 \times 12}{2} = 96$.
L'aire est de 96 cm².
On peut aussi exprimer l'aire en utilisant la hauteur [UH] relative à la base [BC] :
Aire(BUC) = $\frac{BC \times UH}{2}$.
$96 = \frac{20 \times UH}{2} \implies 96 = 10 \times UH \implies UH = 9,6$.
La hauteur UH mesure 9,6 cm.
Exercice 3 : Angles et Pythagore
Dans la figure ci-dessous, on sait que le triangle NEP est isocèle en N, $\widehat{NMP}=35^\circ$, $\widehat{NEP}=55^\circ$, $MN=9$ et $MP=10$.
Calculer la longueur NP arrondie au dixième.
Corrigé :
1. Le triangle NEP est isocèle en N, donc ses angles à la base sont égaux : $\widehat{NPE} = \widehat{NEP} = 55^\circ$.
2. Dans le triangle MNP, la somme des angles vaut 180°. On a :
$\widehat{MNP} = 180^\circ - (\widehat{NMP} + \widehat{MPN}) = 180^\circ - (35^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Le triangle MNP est donc rectangle en N.
3. On peut maintenant utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle MNP rectangle en N :
$MP^2 = MN^2 + NP^2$
$10^2 = 9^2 + NP^2 \implies 100 = 81 + NP^2 \implies NP^2 = 19$.
$NP = \sqrt{19} \approx 4,4$.
La longueur NP est d'environ 4,4.
Exercice 4 : Médiatrice et parallélogramme
Sur la figure ci-contre, on a $BE=6$ cm, $EF=4,5$ cm et $AC=7,5$ cm. La droite (d) est la médiatrice du segment [AE] et BEFC est un parallélogramme.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Corrigé :
1. La droite (d) est la médiatrice de [AE]. Le point B appartient à (d). Tout point sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc, $AB = BE = 6$ cm.
2. BEFC est un parallélogramme. Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur. Donc, $BC = EF = 4,5$ cm.
3. On connaît maintenant les trois longueurs du triangle ABC : $AB=6$ cm, $BC=4,5$ cm, et $AC=7,5$ cm.
On applique la réciproque du théorème de Pythagore :
$AC^2 = 7,5^2 = 56,25$
$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, le triangle ABC est rectangle en B.
Exercice 5 : Symétries et médiatrice
On considère deux droites (d) et (d') sécantes en O, et un point A n'appartenant à aucune des deux droites. On appelle B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de A par rapport à (d').
- Faire une figure.
- Démontrer que O appartient à la médiatrice du segment [BC].
Corrigé :
1. Construction de la figure :
2. B est le symétrique de A par rapport à (d). La symétrie axiale conserve les longueurs. Le point O est sur l'axe (d), donc il est son propre symétrique. Le segment [OB] est le symétrique du segment [OA]. Par conséquent, $OB = OA$.
De même, C est le symétrique de A par rapport à (d'). Le point O est sur l'axe (d'), donc $OC = OA$.
On a donc $OB = OC (= OA)$.
Le point O est équidistant des points B et C. Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
On conclut que O appartient à la médiatrice de [BC].
Exercice 6 : Symétrie et bissectrice
On considère la figure ci-contre.
- Reproduire la figure, puis construire la droite (D) symétrique de (BC) par rapport à (d), et (D') symétrique de (BC) par rapport à (d'). Les droites (D) et (D') se coupent en M.
- Démontrer que (MP) est la bissectrice de l'angle $\widehat{BMC}$.
Corrigé :
1. Construction :
2. La symétrie axiale conserve les angles. L'angle $\widehat{BCP}$ et son symétrique $\widehat{PCM}$ par rapport à (d) sont égaux. Donc (d) est la bissectrice de l'angle $\widehat{BCM}$.
De même, l'angle $\widehat{CBP}$ et son symétrique $\widehat{PBM}$ par rapport à (d') sont égaux. Donc (d') est la bissectrice de l'angle $\widehat{CBM}$.
Dans le triangle BCM, les droites (d) et (d') sont deux bissectrices. Elles se coupent en P. Or, les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.
On en déduit que la troisième bissectrice, issue de M, passe aussi par P. La droite (MP) est donc la bissectrice de l'angle $\widehat{BMC}$.
Exercice 7 : Thalès et parallélogramme
Le triangle MNP est tel que $MP=8$ cm, $PN=12$ cm et $MN=15$ cm. Le point A est sur [MP] tel que $PA=4,8$ cm. La parallèle à (PN) passant par A coupe (MN) en B. La parallèle à (MP) passant par B coupe (NP) en C.
- Faire la figure.
- Démontrer que le quadrilatère ABCP est un parallélogramme.
- Calculer AB.
- Préciser la nature du parallélogramme ABCP.
Corrigé :
1. Figure :
2. Par construction, la droite (AB) est parallèle à (PN). Comme C est sur (NP), on a (AB) // (PC).
De même, par construction, (BC) // (MP). Comme A est sur [MP], on a (BC) // (AP).
Le quadrilatère ABCP a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme.
3. Dans le triangle MNP, les points M, A, P et M, B, N sont alignés. De plus, (AB) // (PN). D'après le théorème de Thalès :
$\frac{MA}{MP} = \frac{MB}{MN} = \frac{AB}{PN}$.
On a $MA = MP - AP = 8 - 4,8 = 3,2$ cm.
$\frac{3,2}{8} = \frac{AB}{12} \implies AB = \frac{3,2 \times 12}{8} = 4,8$.
La longueur AB est de 4,8 cm.
4. On sait que ABCP est un parallélogramme. On vient de montrer que $AB=4,8$ cm. On sait aussi que $AP=4,8$ cm.
Ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur ($AB=AP$). C'est donc un losange.
Exercice 8 : Cercle et trigonométrie
Tracer un cercle (C) de centre O et de rayon 4 cm. Placer A et B tels que [AB] soit un diamètre. Placer un point E sur (C) tel que $\widehat{BAE}=40^{\circ}$.
- Montrer que le triangle ABE est rectangle.
- Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre.
- Placer D, symétrique de B par rapport à E. Démontrer que (AD) // (OE).
- Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
Corrigé :
1. Le triangle ABE est inscrit dans le cercle (C) et l'un de ses côtés, [AB], est un diamètre du cercle. Un triangle inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre est un triangle rectangle. L'hypoténuse est ce diamètre.
Le triangle ABE est donc rectangle en E.
2. Dans le triangle ABE rectangle en E, on a :
$\sin(\widehat{BAE}) = \frac{BE}{AB}$.
$\sin(40^\circ) = \frac{BE}{8}$.
La valeur exacte est $BE = 8 \sin(40^\circ)$.
$BE \approx 8 \times 0,643 \approx 5,142$ cm. L'arrondi au millimètre est 5,1 cm.
3. Dans le triangle ABD, O est le milieu du côté [AB] (centre du cercle et [AB] est un diamètre).
D est le symétrique de B par rapport à E, donc E est le milieu du côté [BD].
La droite (OE) passe par les milieux de deux côtés du triangle ABD. D'après le théorème des milieux, elle est parallèle au troisième côté, (AD).
On a bien (AD) // (OE).
4. Le triangle ABE est rectangle en E, donc (AE) est perpendiculaire à (BE). Comme les points B, E, D sont alignés, (AE) est aussi perpendiculaire à (BD).
La droite (AE) est la hauteur issue de A dans le triangle ABD. C'est aussi la médiane, car E est le milieu de [BD].
Un triangle dans lequel une médiane est aussi une hauteur est un triangle isocèle.
Le triangle ABD est donc isocèle en A.