Rappels et compléments en géométrie
I - Les droites
Propriété 1 : Si 2 droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.
Propriété 2 : Si 2 droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Définition 1 : On appelle médiatrice d'un segment la droite perpendiculaire au segment qui passe par le milieu du segment.
Définition 2 : On appelle bissectrice d'un angle une droite qui partage un angle en 2 angles égaux.
II - Les symétries
Définition 3 : On appelle symétrique du point $M$ par rapport à une droite $(d)$ le point $M'$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
Définition 4 : On appelle symétrique du point $M$ par rapport à un point $K$ le point $M'$ tel que $K$ est le milieu du segment $[MM']$.
III - Le parallélogramme
Définition 5 : On appelle parallélogramme un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Propriété 3 : Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors c'est un parallélogramme.
Propriété 4 : Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
Propriété 5 : Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
IV - Le triangle
Définition 6 : On appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Définition 7 : Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Propriété 8 : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle.
Propriété 9 : Si un triangle est isocèle alors la médiane, la hauteur et la bissectrice, passant par le sommet principal sont confondues avec la médiatrice de la base.
Propriété 10 : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.
Propriété 11 : La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$.
Propriété 12 : Théorème de Thalès
Soit $A, B, C, M$ et $N$ des points distincts du plan.
Si $\begin{cases} (MB) \text{ et } (NC) \text{ sont sécantes en } A \\ \text{et } (MN) \parallel (BC) \end{cases}$ alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
Propriété 13 : Réciproque de Thalès
Soit $A, B, C, M$ et $N$ des points distincts du plan.
Si $\begin{cases} A, B, M \text{ et } A, C, N \text{ sont alignés dans le même ordre} \\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases}$ alors $(MN) \parallel (BC)$
V - Le triangle rectangle
Propriété 14 : Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle.
Propriété 15 : Réciproque de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.
Définition 8 : Soit $\hat{a}$ un angle au sommet aigu d'un triangle rectangle :
- On appelle cosinus de l'angle $\hat{a}$, noté $\cos \hat{a}$, le rapport : $\cos \hat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté adjacent à } \hat{a}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$
- On appelle sinus de l'angle $\hat{a}$, noté $\sin \hat{a}$, le rapport : $\sin \hat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à } \hat{a}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$
- On appelle tangente de l'angle $\hat{a}$, noté $\tan \hat{a}$, le rapport : $\tan \hat{a} = \dfrac{\text{longueur du côté opposé à } \hat{a}}{\text{longueur du côté adjacent à } \hat{a}}$
Propriété 16 : Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ : $(\cos \hat{B})^2 + (\sin \hat{B})^2 = 1$
VI - Distances et cercle
1 - Distances
Propriété 17 : Soit $A, B$ et $M$ trois points du plan.
- Si $M \notin [AB]$ alors $AM + MB > AB$
- Si $M \in [AB]$ alors $AM + MB = AB$
Définition 9 : On appelle milieu d'un segment le point du segment qui est équidistant des extrémités du segment.
$$K \text{ milieu de } [AB] \iff \begin{cases} K \in [AB] \\ AK = KB \end{cases}$$
Propriété 18 :
- Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
- Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
2 - Le cercle
Définition 10 : On appelle cercle de centre $K$ et de rayon $r > 0$ l'ensemble des points $M$ tels que
Propriété 19 : Les 3 médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point).
Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.
Démonstration :
Soit $ABC$ un triangle quelconque.
On appelle $I, J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AB], [BC]$ et $[AC]$.
On appelle $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ d'où $OA = OB = OC$.
$OA = OB$ donc $O$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
$OB = OC$ donc $O$ appartient à la médiatrice de $[BC]$.
$OA = OC$ donc $O$ appartient à la médiatrice de $[AC]$.
Donc les 3 médiatrices du triangle $ABC$ sont concourantes en $O$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Propriété 20 : Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse du triangle.
Propriété 21 : Si un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.
3 - Aire du triangle
Propriété 22 : Si la hauteur $(AH)$ d'un triangle $ABC$ coupe la droite $(BC)$ en $H$ alors :
Reminders and complements in geometry
I - Lines
Property 1: If 2 lines are perpendicular to the same line then they are parallel.
Property 2: If 2 lines are parallel and a third line is perpendicular to one then it is perpendicular to the other.
Definition 1: The perpendicular bisector of a segment is the line perpendicular to the segment passing through its midpoint.
Definition 2: The angle bisector is a line that divides an angle into 2 equal angles.
II - Symmetries
Definition 3: The symmetric point of $M$ with respect to a line $(d)$ is the point $M'$ such that $(d)$ is the perpendicular bisector of the segment $[MM']$.
Definition 4: The symmetric point of $M$ with respect to a point $K$ is the point $M'$ such that $K$ is the midpoint of the segment $[MM']$.
III - The parallelogram
Definition 5: A parallelogram is a quadrilateral whose opposite sides are parallel.
Property 3: If the diagonals of a quadrilateral have the same midpoint then it is a parallelogram.
Property 4: If a parallelogram has perpendicular diagonals then it is a rhombus.
Property 5: If a parallelogram has two consecutive sides of the same length then it is a rhombus.
Property 6: If a parallelogram has diagonals of the same length then it is a rectangle.
Property 7: If a parallelogram has a right angle then it is a rectangle.
IV - The triangle
Definition 6: The altitude of a triangle is a line passing through a vertex of the triangle and perpendicular to the opposite side.
Definition 7: In a triangle, a median is a line passing through a vertex and the midpoint of the opposite side.
Property 8: The three medians of a triangle are concurrent.
Their intersection point is called the center of gravity (centroid) of the triangle.
Property 9: If a triangle is isosceles then the median, the altitude and the bisector passing through the principal vertex coincide with the perpendicular bisector of the base.
Property 10: The three altitudes of a triangle are concurrent.
Their intersection point is called the orthocenter of the triangle.
Property 11: The sum of the angles of a triangle is equal to $180^\circ$.
Property 12: Thales's theorem
Let $A, B, C, M$ and $N$ be distinct points in the plane.
If $\begin{cases} (MB) \text{ and } (NC) \text{ intersect at } A \\ \text{and } (MN) \parallel (BC) \end{cases}$ then $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
Property 13: Converse of Thales's theorem
Let $A, B, C, M$ and $N$ be distinct points in the plane.
If $\begin{cases} A, B, M \text{ and } A, C, N \text{ are aligned in the same order} \\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases}$ then $(MN) \parallel (BC)$
V - The right-angled triangle
Property 14: Pythagorean theorem
If a triangle is right-angled then the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the two other sides.
Property 15: Converse of Pythagorean theorem
If, in a triangle, the square of the longest side is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is right-angled.
Definition 8: Let $\hat{a}$ be an acute angle of a right-angled triangle:
- The cosine of the angle $\hat{a}$, denoted $\cos \hat{a}$, is the ratio $\cos \hat{a} = \dfrac{\text{length of adjacent side to } \hat{a}}{\text{length of hypotenuse}}$
- The sine of the angle $\hat{a}$, denoted $\sin \hat{a}$, is the ratio $\sin \hat{a} = \dfrac{\text{length of opposite side to } \hat{a}}{\text{length of hypotenuse}}$
- The tangent of the angle $\hat{a}$, denoted $\tan \hat{a}$, is the ratio $\tan \hat{a} = \dfrac{\text{length of opposite side to } \hat{a}}{\text{length of adjacent side to } \hat{a}}$
Property 16: In triangle $ABC$ right-angled at $A$: $(\cos \hat{B})^2 + (\sin \hat{B})^2 = 1$
VI - Distances and circle
1 - Distances
Property 17: Let $A, B$ and $M$ be three points in the plane.
- If $M \notin [AB]$ then $AM + MB > AB$
- If $M \in [AB]$ then $AM + MB = AB$
Definition 9: The midpoint of a segment is the point of the segment equidistant from its endpoints.
$$$K \text{ midpoint of } [AB] \iff \begin{cases} K \in [AB] \\ AK = KB \end{cases}$$$
Property 18:
- If a point belongs to the perpendicular bisector of a segment then it is equidistant from the endpoints of this segment.
- If a point is equidistant from the endpoints of a segment then it belongs to the perpendicular bisector of this segment.
2 - The circle
Definition 10: The circle of center $K$ and radius $r > 0$ is the set of points $M$ such that
Property 19: The 3 perpendicular bisectors of a triangle are concurrent.
Their intersection point is the center of the circle passing through the 3 vertices, called the circumscribed circle of the triangle.
Proof:
Let $ABC$ be any triangle.
Let $I, J$ and $K$ be the respective midpoints of segments $[AB], [BC]$ and $[AC]$.
Let $O$ be the center of the circumscribed circle of triangle $ABC$ thus $OA = OB = OC$.
$OA = OB$ so $O$ belongs to the perpendicular bisector of $[AB]$.
$OB = OC$ so $O$ belongs to the perpendicular bisector of $[BC]$.
$OA = OC$ so $O$ belongs to the perpendicular bisector of $[AC]$.
So the 3 perpendicular bisectors of triangle $ABC$ are concurrent at $O$, the center of the circumscribed circle of triangle $ABC$.
Property 20: If a triangle is right-angled then its circumscribed circle has the hypotenuse as diameter.
Property 21: If one of the sides of a triangle is a diameter of its circumscribed circle then this triangle is right-angled and its hypotenuse is this side.
3 - Area of the triangle
Property 22: If the altitude $(AH)$ of a triangle $ABC$ intersects $(BC)$ at $H$ then:
Repasos y complementos de geometría
I - Las rectas
Propiedad 1: Si 2 rectas son perpendiculares a una misma recta entonces son paralelas.
Propiedad 2: Si 2 rectas son paralelas y una tercera recta es perpendicular a una entonces es perpendicular a la otra.
Definición 1: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Definición 2: Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide al ángulo en 2 ángulos iguales.
II - Las simetrías
Definición 3: Se llama simétrico del punto $M$ respecto a una recta $(d)$ al punto $M'$ tal que $(d)$ es la mediatriz del segmento $[MM']$.
Definición 4: Se llama simétrico del punto $M$ respecto a un punto $K$ al punto $M'$ tal que $K$ es el punto medio del segmento $[MM']$.
III - El paralelogramo
Definición 5: Se llama paralelogramo a un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Propiedad 3: Si las diagonales de un cuadrilátero tienen el mismo punto medio entonces es un paralelogramo.
Propiedad 4: Si un paralelogramo tiene diagonales perpendiculares entonces es un rombo.
Propiedad 5: Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos de la misma longitud entonces es un rombo.
Propiedad 6: Si un paralelogramo tiene diagonales de la misma longitud entonces es un rectángulo.
Propiedad 7: Si un paralelogramo tiene un ángulo recto entonces es un rectángulo.
IV - El triángulo
Definición 6: Se llama altura de un triángulo a la recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto a este vértice.
Definición 7: En un triángulo, se llama mediana a la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Propiedad 8: Las tres medianas de un triángulo son concurrentes.
Su punto de intersección se llama baricentro (centro de gravedad) del triángulo.
Propiedad 9: Si un triángulo es isósceles entonces la mediana, la altura y la bisectriz que pasan por el vértice principal coinciden con la mediatriz de la base.
Propiedad 10: Las tres alturas de un triángulo son concurrentes.
Su punto de intersección se llama ortocentro del triángulo.
Propiedad 11: La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es igual a $180^\circ$.
Propiedad 12: Teorema de Tales
Sean $A, B, C, M$ y $N$ puntos distintos del plano.
Si $\begin{cases} (MB) \text{ y } (NC) \text{ son secantes en } A \\ \text{y } (MN) \parallel (BC) \end{cases}$ entonces $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
Propiedad 13: Recíproco del teorema de Tales
Sean $A, B, C, M$ y $N$ puntos distintos del plano.
Si $\begin{cases} A, B, M \text{ y } A, C, N \text{ están alineados en el mismo orden} \\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \end{cases}$ entonces $(MN) \parallel (BC)$
V - El triángulo rectángulo
Propiedad 14: Teorema de Pitágoras
Si un triángulo es rectángulo entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados del triángulo.
Propiedad 15: Recíproco de Pitágoras
Si, en un triángulo, el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces este triángulo es rectángulo.
Definición 8: Sea $\hat{a}$ un ángulo agudo de un triángulo rectángulo:
- Se llama coseno del ángulo $\hat{a}$, denotado $\cos \hat{a}$, a la razón $\cos \hat{a} = \dfrac{\text{longitud del lado adyacente a } \hat{a}}{\text{longitud de la hipotenusa}}$
- Se llama seno del ángulo $\hat{a}$, denotado $\sin \hat{a}$, a la razón $\sin \hat{a} = \dfrac{\text{longitud del lado opuesto a } \hat{a}}{\text{longitud de la hipotenusa}}$
- Se llama tangente del ángulo $\hat{a}$, denotada $\tan \hat{a}$, a la razón $\tan \hat{a} = \dfrac{\text{longitud del lado opuesto a } \hat{a}}{\text{longitud del lado adyacente a } \hat{a}}$
Propiedad 16: En el triángulo $ABC$ rectángulo en $A$: $(\cos \hat{B})^2 + (\sin \hat{B})^2 = 1$
VI - Distancias y círculo
1 - Distancias
Propiedad 17: Sean $A, B$ y $M$ tres puntos del plano.
- Si $M \notin [AB]$ entonces $AM + MB > AB$
- Si $M \in [AB]$ entonces $AM + MB = AB$
Definición 9: Se llama punto medio de un segmento al punto del segmento que equidista de los extremos del segmento.
$$$K \text{ punto medio de } [AB] \iff \begin{cases} K \in [AB] \\ AK = KB \end{cases}$$$
Propiedad 18:
- Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento entonces equidista de los extremos de este segmento.
- Si un punto equidista de los extremos de un segmento entonces pertenece a la mediatriz de este segmento.
2 - El círculo
Definición 10: Se llama círculo de centro $K$ y radio $r > 0$ al conjunto de puntos $M$ tales que
Propiedad 19: Las 3 mediatrices de un triángulo son concurrentes.
Su punto de intersección es el centro del círculo que pasa por los 3 vértices del triángulo, llamado círculo circunscrito al triángulo.
Demostración:
Sea $ABC$ un triángulo cualquiera.
Llamamos $I, J$ y $K$ a los puntos medios respectivos de los segmentos $[AB], [BC]$ y $[AC]$.
Llamamos $O$ al centro del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ de donde $OA = OB = OC$.
$OA = OB$ entonces $O$ pertenece a la mediatriz de $[AB]$.
$OB = OC$ entonces $O$ pertenece a la mediatriz de $[BC]$.
$OA = OC$ entonces $O$ pertenece a la mediatriz de $[AC]$.
Por lo tanto las 3 mediatrices del triángulo $ABC$ son concurrentes en $O$ centro del círculo circunscrito al triángulo $ABC$.
Propiedad 20: Si un triángulo es rectángulo entonces su círculo circunscrito tiene como diámetro la hipotenusa del triángulo.
Propiedad 21: Si uno de los lados de un triángulo es un diámetro de su círculo circunscrito entonces este triángulo es rectángulo y tiene por hipotenusa a este lado.
3 - Área del triángulo
Propiedad 22: Si la altura $(AH)$ de un triángulo $ABC$ corta a la recta $(BC)$ en $H$ entonces: