LOI BINOMIALEBINOMIAL DISTRIBUTIONDISTRIBUCIÓN BINOMIAL
ExercicesExercisesEjercicios
Exercice 1 : Épreuve et variable de BernoulliExercise 1: Bernoulli trial and variableEjercicio 1: Ensayo y variable de Bernoulli
On tire au hasard une carte dans un jeu classique de 32 cartes (de 7 à As).
On considère que l'on gagne si l'on tire un as ou un roi. Dans tous les autres cas, on perd.
1. Justifier que cette expérience est une épreuve de Bernoulli. Quel est le « succès » et quelle est sa probabilité $p$ ?
2. Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable aléatoire de Bernoulli $X$ associée à ce jeu ?
3. Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.
4. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
5. À quoi correspond ce résultat concrètement dans le cadre du jeu ?
A card is drawn at random from a standard 32-card deck (from 7 to Ace).
We consider that we win if we draw an Ace or a King. In all other cases, we lose.
1. Justify that this experiment is a Bernoulli trial. What is the "success" and what is its probability $p$?
2. What are the possible values taken by the Bernoulli random variable $X$ associated with this game?
3. Draw up the table giving the probability distribution of $X$.
4. Calculate the expected value $E(X)$.
5. What does this result correspond to in concrete terms in the context of the game?
Se extrae una carta al azar de una baraja estándar de 32 cartas (del 7 al As).
Consideramos que ganamos si sacamos un As o un Rey. En todos los demás casos, perdemos.
1. Justifica que este experimento es un ensayo de Bernoulli. ¿Cuál es el "éxito" y cuál es su probabilidad $p$?
2. ¿Cuáles son los valores posibles que toma la variable aleatoria de Bernoulli $X$ asociada a este juego?
3. Elabora la tabla que da la distribución de probabilidad de $X$.
4. Calcula la esperanza matemática $E(X)$.
5. ¿A qué corresponde concretamente este resultado en el contexto del juego?
Corrigé :Solution:Solución:
L'expérience ne possède que deux issues possibles : Gagner ou Perdre. C'est donc bien une épreuve de Bernoulli. Le succès est : « Tirer un as ou un roi ». Il y a 4 as et 4 rois dans un jeu de 32 cartes, soit 8 cartes favorables. Donc $p = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = $ $0,25$.
Par définition, une variable aléatoire de Bernoulli associe la valeur 1 au succès et 0 à l'échec. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc $0$ et $1$.
Tableau de la loi de probabilité de $X$ :
$x$
$0$ (Échec)
$1$ (Succès)
$p(X=x)$
$1 - p = 0,75$
$p = 0,25$
L'espérance d'une loi de Bernoulli est $E(X) = p$. On peut aussi la calculer : $E(X) = 0 \times 0,75 + 1 \times 0,25 = $ $0,25$.
Dans le cadre du jeu, l'espérance correspond à la moyenne des gains (ici des succès). Si l'on joue un très grand nombre de fois, on gagnera en moyenne dans $25\,\%$ des cas (soit 1 fois sur 4).
The experiment has only two possible outcomes: Win or Lose. It is a Bernoulli trial. Success: "Drawing an Ace or a King". There are 8 such cards out of 32. So $p = \dfrac{8}{32} = 0.25$.
A Bernoulli random variable assigns 1 to success and 0 to failure. The possible values are $0$ and $1$.
Probability distribution table for $X$:
$x$
$0$ (Failure)
$1$ (Success)
$p(X=x)$
$0.75$
$0.25$
The expected value is $E(X) = p = $ $0.25$.
It means that if we play this game many times, we will win on average $25\%$ of the time.
El experimento sólo tiene dos resultados posibles: Ganar o Perder. Es un ensayo de Bernoulli. El éxito es: "Sacar un As o un Rey". Hay 8 cartas de este tipo de 32. Así que $p = \dfrac{8}{32} = 0.25$.
Una variable aleatoria de Bernoulli asocia el valor 1 al éxito y 0 al fracaso. Los valores posibles son $0$ y $1$.
Tabla de la distribución de probabilidad de $X$:
$x$
$0$ (Fracaso)
$1$ (Éxito)
$p(X=x)$
$0.75$
$0.25$
La esperanza matemática es $E(X) = p = $ $0.25$.
Significa que si jugamos muchas veces, ganaremos en promedio el $25\%$ de las veces.
Exercice 2 : Schéma de Bernoulli (n=2) et arbreExercise 2: Bernoulli process (n=2) and treeEjercicio 2: Esquema de Bernoulli (n=2) y árbol
Une machine fabrique des pièces métalliques. On estime que $4\,\%$ des pièces produites présentent un défaut de fabrication.
On prélève au hasard et indépendamment deux pièces dans la production pour les contrôler. On note $S$ l'évènement « La pièce est sans défaut » (succès) et $E$ l'évènement contraire (échec).
1. Expliquer pourquoi ce prélèvement peut être assimilé à un schéma de Bernoulli. Préciser les paramètres $n$ et $p$.
2. Construire un arbre pondéré représentant cette expérience à deux épreuves.
3. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de pièces sans défaut parmi les deux pièces prélevées. Quelles sont les valeurs possibles prises par $X$ ?
4. En utilisant l'arbre pondéré, calculer les probabilités $p(X = 2)$ et $p(X = 1)$.
5. Dresser le tableau complet de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ suivie par $X$.
A machine manufactures metal parts. It is estimated that $4\,\%$ of the parts produced have a manufacturing defect.
We randomly and independently select two parts from production for inspection. Let $S$ be the event "The part has no defect" (success) and $E$ the complementary event (failure).
1. Explain why this selection can be assimilated to a Bernoulli process. Specify the parameters $n$ and $p$.
2. Construct a weighted tree diagram representing this two-trial experiment.
3. Let $X$ be the random variable corresponding to the number of non-defective parts among the two selected. What are the possible values taken by $X$?
4. Using the tree diagram, calculate the probabilities $p(X = 2)$ and $p(X = 1)$.
5. Draw up the complete table of the binomial distribution $\mathcal{B}(n, p)$ followed by $X$.
Una máquina fabrica piezas metálicas. Se estima que el $4\,\%$ de las piezas producidas presentan un defecto de fabricación.
Se extraen al azar e independientemente dos piezas de la producción para su control. Sea $S$ el suceso "La pieza no tiene defectos" (éxito) y $E$ el suceso contrario (fracaso).
1. Explica por qué esta extracción puede asimilarse a un esquema de Bernoulli. Especifica los parámetros $n$ y $p$.
2. Construye un diagrama de árbol ponderado que represente este experimento de dos ensayos.
3. Sea $X$ la variable aleatoria correspondiente al número de piezas sin defectos entre las dos extraídas. ¿Cuáles son los valores posibles que toma $X$?
4. Utilizando el diagrama de árbol, calcula las probabilidades $p(X = 2)$ y $p(X = 1)$.
5. Elabora la tabla completa de la distribución binomial $\mathcal{B}(n, p)$ seguida por $X$.
Corrigé :Solution:Solución:
L'expérience consiste à répéter de manière identique et indépendante une même épreuve de Bernoulli n'ayant que deux issues (Succès ou Échec). C'est donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n=2$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité du succès). Attention, le succès est "sans défaut". Comme $4\,\%$ ont un défaut, $p = 1 - 0,04 = $ $0,96$.
(L'arbre est modélisé ci-dessus avec $S$ pour succès et $E$ pour échec).
$X$ compte le nombre de succès (pièces sans défaut). Sur les 2 tirages, on peut obtenir $0$, $1$ ou $2$ succès. Donc $X \in \{0 ; 1 ; 2\}$.
Tableau de la loi binomiale (en calculant $p(X=0) = 0,04 \times 0,04 = 0,0016$) :
$k$
$0$
$1$
$2$
$p(X=k)$
$0,0016$
$0,0768$
$0,9216$
The experiment repeats an identical and independent Bernoulli trial. It's a Bernoulli process with $n=2$ and $p = 1 - 0.04 = $ $0.96$ (probability of NO defect).
Binomial distribution table ($p(X=0) = 0.04^2 = 0.0016$):
$k$
$0$
$1$
$2$
$p(X=k)$
$0.0016$
$0.0768$
$0.9216$
El experimento repite un ensayo de Bernoulli idéntico e independiente. Es un esquema de Bernoulli con $n=2$ y $p = 1 - 0.04 = $ $0.96$ (probabilidad de SIN defecto).
Tabla de distribución binomial ($p(X=0) = 0.04^2 = 0.0016$):
$k$
$0$
$1$
$2$
$p(X=k)$
$0.0016$
$0.0768$
$0.9216$
Exercice 3 : Arbre à 3 épreuves (n=3)Exercise 3: Tree with 3 trials (n=3)Ejercicio 3: Árbol con 3 ensayos (n=3)
Un étudiant répond totalement au hasard à un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) comportant 3 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte.
1. Quelle est la probabilité $p$ de trouver la bonne réponse à une question donnée ?
2. On considère que les réponses aux 3 questions sont indépendantes. Construire l'arbre pondéré complet modélisant cette situation. On notera $V$ pour une réponse Vraie (succès) et $F$ pour une réponse Fausse (échec).
3. Soit $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. Sur l'arbre, combien de chemins conduisent à l'évènement $(Y = 3)$ ? En déduire la probabilité $p(Y = 3)$.
4. Sur l'arbre, dénombrer les chemins conduisant à l'évènement $(Y = 1)$ et calculer la probabilité d'avoir exactement une bonne réponse.
5. Calculer la probabilité que l'étudiant n'ait aucune bonne réponse $p(Y = 0)$. En déduire la probabilité qu'il ait au moins une bonne réponse.
A student guesses answers completely at random on a multiple-choice test with 3 questions. For each question, 4 answers are proposed, only one of which is correct.
1. What is the probability $p$ of finding the correct answer to a given question?
2. We consider that the answers to the 3 questions are independent. Construct the complete weighted tree modeling this situation. Use $V$ for True (success) and $F$ for False (failure).
3. Let $Y$ be the random variable counting the number of correct answers. On the tree, how many paths lead to the event $(Y = 3)$? Deduce $p(Y = 3)$.
4. On the tree, count the paths leading to the event $(Y = 1)$ and calculate the probability of having exactly one correct answer.
5. Calculate the probability of no correct answers $p(Y = 0)$. Deduce the probability of at least one correct answer.
Un estudiante responde totalmente al azar a un test de opción múltiple con 3 preguntas. Para cada pregunta, se proponen 4 respuestas, de las cuales solo una es correcta.
1. ¿Cuál es la probabilidad $p$ de encontrar la respuesta correcta a una pregunta dada?
2. Consideramos que las respuestas a las 3 preguntas son independientes. Construye el árbol ponderado completo que modela esta situación. Usa $V$ para Verdadero (éxito) y $F$ para Falso (fracaso).
3. Sea $Y$ la variable aleatoria que cuenta el número de respuestas correctas. En el árbol, ¿cuántos caminos conducen al suceso $(Y = 3)$? Deduce $p(Y = 3)$.
4. En el árbol, cuenta los caminos que conducen al suceso $(Y = 1)$ y calcula la probabilidad de tener exactamente una respuesta correcta.
5. Calcula la probabilidad de no tener respuestas correctas $p(Y = 0)$. Deduce la probabilidad de tener al menos una respuesta correcta.
Corrigé :Solution:Solución:
Il y a 1 réponse juste parmi 4 choix, donc $p = \dfrac{1}{4} = $ $0,25$. L'échec a pour probabilité $1 - 0,25 = 0,75$.
(L'arbre est modélisé ci-dessus avec les 3 niveaux de questions).
Il y a 1 seul chemin conduisant à 3 bonnes réponses ($V-V-V$).
Donc $p(Y=3) = p^3 = 0,25^3 = $ $0,015625$ (soit $\frac{1}{64}$).
Il y a 3 chemins avec exactement 1 bonne réponse ($V-F-F$, $F-V-F$, $F-F-V$).
La probabilité est $p(Y=1) = 3 \times p \times (1-p)^2 = 3 \times 0,25 \times (0,75)^2 = 3 \times 0,25 \times 0,5625 = $ $0,421875$ (soit $\frac{27}{64}$).
- Aucune bonne réponse correspond au chemin $F-F-F$.
$p(Y=0) = (1-p)^3 = 0,75^3 = $ $0,421875$ (soit $\frac{27}{64}$).
- Au moins une bonne réponse est l'évènement contraire de "aucune".
$p(Y \geq 1) = 1 - p(Y=0) = 1 - 0,421875 = $ $0,578125$.
There is 1 correct answer out of 4, so $p = \dfrac{1}{4} = $ $0.25$. Failure probability is $0.75$.
(Tree modeled above with 3 levels).
There is only 1 path for 3 correct answers ($V-V-V$).
So $p(Y=3) = p^3 = 0.25^3 = $ $0.015625$.
There are 3 paths with exactly 1 correct answer ($V-F-F$, $F-V-F$, $F-F-V$).
$p(Y=1) = 3 \times p \times (1-p)^2 = 3 \times 0.25 \times (0.75)^2 = $ $0.421875$.
- No correct answers: $F-F-F$. $p(Y=0) = 0.75^3 = $ $0.421875$.
- At least one correct answer: $p(Y \geq 1) = 1 - p(Y=0) = 1 - 0.421875 = $ $0.578125$.
Hay 1 respuesta correcta de 4, así que $p = \dfrac{1}{4} = $ $0.25$. Probabilidad de fracaso es $0.75$.
(Árbol modelado arriba con 3 niveles).
Hay sólo 1 camino para 3 correctas ($V-V-V$).
Así $p(Y=3) = p^3 = 0.25^3 = $ $0.015625$.
Hay 3 caminos con exactamente 1 correcta ($V-F-F$, $F-V-F$, $F-F-V$).
$p(Y=1) = 3 \times p \times (1-p)^2 = 3 \times 0.25 \times (0.75)^2 = $ $0.421875$.
- Ninguna correcta: $F-F-F$. $p(Y=0) = 0.75^3 = $ $0.421875$.
- Al menos una correcta: $p(Y \geq 1) = 1 - p(Y=0) = 1 - 0.421875 = $ $0.578125$.
Exercice 4 : Formules de probabilités et évènement contraireExercise 4: Probability formulas and complementary eventEjercicio 4: Fórmulas de probabilidad y suceso contrario
Un traitement médical est efficace dans $80\,\%$ des cas. On l'administre de façon indépendante à 3 patients.
On s'intéresse au nombre de patients guéris, modélisé par une variable aléatoire $X$.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
2. En utilisant directement les formules vues dans le cours pour une loi $\mathcal{B}(3, p)$, exprimer et calculer la probabilité que exactement deux patients soient guéris.
3. Calculer la probabilité que les trois patients soient guéris.
4. On souhaite déterminer la probabilité de l'évènement $E$ : « Au moins un des trois patients n'est pas guéri ». Quel est l'évènement contraire de $E$ ?
5. En déduire la probabilité de l'évènement $E$.
A medical treatment is effective in $80\,\%$ of cases. It is administered independently to 3 patients.
We are interested in the number of cured patients, modeled by a random variable $X$.
1. What probability distribution does the random variable $X$ follow? Specify its parameters.
2. Using the formulas seen in the course for a distribution $\mathcal{B}(3, p)$, express and calculate the probability that exactly two patients are cured.
3. Calculate the probability that all three patients are cured.
4. We want to determine the probability of event $E$: "At least one of the three patients is not cured". What is the complementary event of $E$?
5. Deduce the probability of event $E$.
Un tratamiento médico es eficaz en el $80\,\%$ de los casos. Se administra de forma independiente a 3 pacientes.
Nos interesa el número de pacientes curados, modelado por una variable aleatoria $X$.
1. ¿Qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria $X$? Especifica sus parámetros.
2. Usando las fórmulas vistas en el curso para una distribución $\mathcal{B}(3, p)$, expresa y calcula la probabilidad de que exactamente dos pacientes se curen.
3. Calcula la probabilidad de que los tres pacientes se curen.
4. Queremos determinar la probabilidad del suceso $E$: "Al menos uno de los tres pacientes no se cura". ¿Cuál es el suceso contrario de $E$?
5. Deduce la probabilidad del suceso $E$.
Corrigé :Solution:Solución:
L'expérience consiste à répéter 3 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli (Succès = Guérison, $p = 0,8$). La variable $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3 ; 0,8)$.
D'après le cours pour $n=3$, la probabilité d'avoir 2 succès est donnée par $3p^2(1-p)$.
Ici : $p(X=2) = 3 \times 0,8^2 \times (1-0,8)^1 = 3 \times 0,64 \times 0,2 = $ $0,384$.
La probabilité de 3 succès (tous guéris) est donnée par $p^3$.
$p(X=3) = 0,8^3 = $ $0,512$.
L'évènement $E$ est « Au moins 1 patient n'est pas guéri ». Cela signifie que $0, 1 \text{ ou } 2$ patients au maximum sont guéris.
L'évènement contraire $\bar{E}$ est : « Tous les patients sont guéris » (soit l'évènement $X = 3$).
D'après la question 3, $p(\bar{E}) = p(X=3) = 0,512$.
On a donc $p(E) = 1 - p(\bar{E}) = 1 - 0,512 = $ $0,488$.
$X$ counts the successes in 3 independent trials. It follows a binomial distribution $\mathcal{B}(3, 0.8)$.
Formula for 2 successes: $3p^2(1-p)$.
$p(X=2) = 3 \times 0.8^2 \times 0.2 = $ $0.384$.
Formula for 3 successes: $p^3$.
$p(X=3) = 0.8^3 = $ $0.512$.
Event $E$ is "At least 1 is not cured". The complementary event $\bar{E}$ is: "All patients are cured" ($X = 3$).
$p(E) = 1 - p(X=3) = 1 - 0.512 = $ $0.488$.
$X$ cuenta los éxitos en 3 ensayos independientes. Sigue una distribución binomial $\mathcal{B}(3, 0.8)$.
El suceso $E$ es "Al menos 1 no se cura". El suceso contrario $\bar{E}$ es: "Todos los pacientes se curan" ($X = 3$).
$p(E) = 1 - p(X=3) = 1 - 0.512 = $ $0.488$.
Exercice 5 : Tableau complet et variable dérivéeExercise 5: Complete table and derived variableEjercicio 5: Tabla completa y variable derivada
Dans une boulangerie, on a observé que $30\,\%$ des clients achètent une viennoiserie en plus de leur pain. On observe le comportement de 3 clients qui se succèdent, en supposant que leurs choix sont indépendants.
On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients achetant une viennoiserie parmi ces 3 personnes.
1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
2. Dresser le tableau complet de la loi de probabilité de $X$. (On donnera les probabilités sous forme décimale exacte en justifiant avec les formules du cours).
3. La viennoiserie est vendue $2$ euros. Soit $G$ la variable aléatoire correspondant à la recette supplémentaire générée. Exprimer la variable $G$ en fonction de $X$ et donner les valeurs possibles de $G$.
4. Quelle est la probabilité que la recette supplémentaire rapportée par ces 3 clients soit exactement de $4$ euros ?
5. Quelle est la probabilité que la recette supplémentaire soit supérieure ou égale à $2$ euros ?
In a bakery, it was observed that $30\,\%$ of customers buy a pastry in addition to their bread. We observe the behavior of 3 consecutive customers, assuming their choices are independent.
Let $X$ be the random variable counting the number of customers buying a pastry among these 3 people.
1. Justify that the random variable $X$ follows a binomial distribution and specify its parameters $n$ and $p$.
2. Draw up the complete probability distribution table for $X$. (Give exact decimal probabilities, justifying with the course formulas).
3. The pastry is sold for 2 euros. Let $G$ be the random variable corresponding to the additional revenue generated. Express $G$ as a function of $X$ and give the possible values of $G$.
4. What is the probability that the additional revenue brought by these 3 customers is exactly 4 euros?
5. What is the probability that the additional revenue is greater than or equal to 2 euros?
En una panadería, se observó que el $30\,\%$ de los clientes compran bollería además de su pan. Observamos el comportamiento de 3 clientes consecutivos, asumiendo que sus elecciones son independientes.
Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de clientes que compran bollería entre estas 3 personas.
1. Justifica que la variable aleatoria $X$ sigue una distribución binomial y especifica sus parámetros $n$ y $p$.
2. Elabora la tabla completa de distribución de probabilidad de $X$. (Da probabilidades decimales exactas, justificando con las fórmulas del curso).
3. La bollería se vende por 2 euros. Sea $G$ la variable aleatoria correspondiente a los ingresos adicionales generados. Expresa $G$ en función de $X$ y da los valores posibles de $G$.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos adicionales aportados por estos 3 clientes sean exactamente 4 euros?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos adicionales sean mayores o iguales a 2 euros?
Corrigé :Solution:Solución:
L'expérience consiste à répéter 3 fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli (Succès = Acheter une viennoiserie, $p = 0,3$). $X$ compte les succès, donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(3 ; 0,3)$.