LOI BINOMIALE
I - Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Définition 1 :
On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le résultat de l'autre.
Exemple : d'expériences aléatoires indépendantes
Expérience aléatoire : on lance une pièce de monnaie et on note si on obtient PILE (P) ou FACE (F).
Si on répète l'expérience plusieurs fois, les résultats obtenus sont indépendants les uns des autres.
L'expérience aléatoire consistant à jeter simultanément plusieurs pièces identiques correspondant au même modèle.
Modélisation par un arbre pondéré
- Chaque nœud de l'arbre correspond à une issue de l'expérience aléatoire que l'on répète.
- Sur chaque branche, on note la probabilité de l'issue associée au nœud de cette branche.
Pour cette expérience aléatoire : $p(\text{PILE}) = p(\text{FACE}) = 0,5$ - Une liste de résultats de l'expérience du lancer des 3 pièces se lit sur un chemin de branches.
Le chemin entouré montre la liste F, F, F obtenue quand les 3 pièces donnent FACE.
Propriété 1 :
Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Application : Dans l'exemple
$p(\text{F,F,F}) = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125 = \frac{1}{8}$
Ce résultat est cohérent avec ce que l'on sait déjà, puisque l'arbre a 8 chemins et un seul correspond au résultat souhaité.
II - Loi de Bernoulli de paramètre $p$
Définition 2 :
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ une expérience aléatoire ayant 2 issues : succès avec une probabilité égale à $p$ et échec.
Application : Arbre associé à une épreuve de Bernoulli
Si la probabilité d'obtenir un succès est égale à $p$ alors la probabilité d'un échec est égale à $1 - p$.
Définition 3 :
On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$ la variable aléatoire $X$ qui associe la valeur 1 à un succès avec la probabilité $p$ et la valeur 0 à un échec avec la probabilité $1 - p$.
Exemple : de variable aléatoire de Bernoulli
On lance un dé équilibré à 6 faces :
- On gagne si on fait 1 ou 6
- On perd sinon.
L'univers associé à cette expérience aléatoire est $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque issue le succès ou l'échec.
| antécédent | image |
| 1 | Succès |
| 2 | Échec |
| 3 | Échec |
| 4 | Échec |
| 5 | Échec |
| 6 | Succès |
La probabilité de faire un coup gagnant (SUCCES) est $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
La probabilité de faire un coup perdant (ECHEC) est :
$1 - p = 1 - \frac{2}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
On a défini une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{3}$.
Définition 4 :
On appelle loi de Bernoulli de paramètre $p$ la loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli $X$ de paramètre $p$.
| $x$ | 0 | 1 |
| $p(X = x)$ | $1 - p$ | $p$ |
Application : Loi de Bernoulli associée à l'exemple
La loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{3}$ est présentée dans le tableau ci-dessous :
| $x$ | 0 | 1 |
| $p(X = x)$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
Propriété 2 :
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli $X$ de paramètre $p$ est $E(X) = p$.
Justification :
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$
III - Loi binomiale de paramètres $n$ et $p$
Définition 5 :
On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ l'expérience aléatoire qui consiste à répéter $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ identiques et indépendantes.
Application : Arbre associé au schéma de Bernoulli
On note $S$ le succès et $\overline{S}$ l'échec.
Définition 6 :
On appelle loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$, la loi de probabilité de la variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ le nombre de succès.
| $k$ | 0 | 1 | $\dots$ | $n$ |
| $p(X = k)$ | $p(X = 0)$ | $p(X = 1)$ | $\dots$ | $p(X = n)$ |
Application : Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ :
$\mathcal{B}(2, p)$ : Il y a 1 chemin pour 0 succès : $p(X = 0) = (1 - p)(1 - p) = (1 - p)^2$.
Il y a 2 chemins pour 1 succès : $p(X = 1) = p(1 - p) + (1 - p)p = 2p(1 - p)$.
Il y a 1 chemin pour 2 succès : $p(X = 2) = p \times p = p^2$.
| $k$ | 0 | 1 | 2 |
| $p(X = k)$ | $(1 - p)^2$ | $2p(1 - p)$ | $p^2$ |
On vérifie que pour tout $p \in \mathbb{R}$, $p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 1$
$\mathcal{B}(3, p)$ :
| $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $p(X = k)$ | $(1 - p)^3$ | $3p(1 - p)^2$ | $3p^2(1 - p)$ | $p^3$ |
BINOMIAL DISTRIBUTION
I - Repetition of identical and independent experiments
Definition 1 :
Two experiments are said to be independent if the outcome of one has no influence on the outcome of the other.
Exemple : d'expériences aléatoires indépendantes
Random experiment: a coin is tossed, and it is noted whether it lands on HEADS (H) or TAILS (T).
If the experiment is repeated several times, the outcomes obtained are independent of each other.
The random experiment of tossing simultaneously several identical coins corresponds to the same model.
Modeling by a weighted tree diagram
- Each node in the tree corresponds to an outcome of the repeated random experiment.
- On each branch, the probability of the outcome associated with the node of that branch is written.
For this random experiment: $p(\text{HEADS}) = p(\text{TAILS}) = 0.5$ - A list of outcomes of the experiment of tossing the 3 coins can be read along a path of branches.
The circled path shows the list T, T, T obtained when the 3 coins land on TAILS.
Property 1 :
On a weighted tree diagram representing the repetition of identical and independent random experiments, the probability of a list of outcomes is the product of the probabilities of each outcome.
Application : Dans l'exemple
$p(\text{T,T,T}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 = \frac{1}{8}$
This result is consistent with what we already know, since the tree has 8 paths and only one corresponds to the desired outcome.
II - Bernoulli distribution with parameter $p$
Definition 2 :
A Bernoulli trial with parameter $p$ is a random experiment with 2 outcomes: success with probability equal to $p$, and failure.
Application : Arbre associé à une épreuve de Bernoulli
If the probability of obtaining a success is equal to $p$, then the probability of a failure is equal to $1 - p$.
Definition 3 :
A Bernoulli random variable with parameter $p$ is the random variable $X$ that assigns the value 1 to a success with probability $p$ and the value 0 to a failure with probability $1 - p$.
Exemple : de variable aléatoire de Bernoulli
We roll a fair 6-sided die:
- We win if we roll a 1 or 6
- We lose otherwise.
The sample space associated with this random experiment is $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Let $X$ be the random variable that assigns success or failure to each outcome.
| preimage | image |
| 1 | Success |
| 2 | Failure |
| 3 | Failure |
| 4 | Failure |
| 5 | Failure |
| 6 | Success |
The probability of making a winning move (SUCCESS) is $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
La probabilité de faire un coup perdant (ECHEC) est :
$1 - p = 1 - \frac{2}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
We have defined a Bernoulli random variable with parameter $p = \frac{1}{3}$.
Definition 4 :
The Bernoulli distribution with parameter $p$ is the probability distribution of the Bernoulli random variable $X$ with parameter $p$.
| $x$ | 0 | 1 |
| $p(X = x)$ | $1 - p$ | $p$ |
Application : Loi de Bernoulli associée à l'exemple
The Bernoulli distribution with parameter $p = \frac{1}{3}$ is presented in the table below:
| $x$ | 0 | 1 |
| $p(X = x)$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
Property 2 :
The expected value of a Bernoulli random variable $X$ with parameter $p$ is $E(X) = p$.
Justification:
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$
III - Binomial distribution with parameters $n$ and $p$
Definition 5 :
A Bernoulli process with parameters $n$ and $p$ is the random experiment that consists of repeating $n$ identical and independent Bernoulli trials with parameter $p$.
Application : Arbre associé au schéma de Bernoulli
Let $S$ denote success and $\overline{S}$ denote failure.
Definition 6 :
The binomial distribution with parameters $n$ and $p$, denoted $\mathcal{B}(n, p)$, is the probability distribution of the random variable that associates the number of successes to a Bernoulli process with parameters $n$ and $p$.
| $k$ | 0 | 1 | $\dots$ | $n$ |
| $p(X = k)$ | $p(X = 0)$ | $p(X = 1)$ | $\dots$ | $p(X = n)$ |
Application : Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ :
$\mathcal{B}(2, p)$ : There is 1 path for 0 successes: $p(X = 0) = (1 - p)(1 - p) = (1 - p)^2$.
There are 2 paths for 1 success: $p(X = 1) = p(1 - p) + (1 - p)p = 2p(1 - p)$.
There is 1 path for 2 successes: $p(X = 2) = p \times p = p^2$.
| $k$ | 0 | 1 | 2 |
| $p(X = k)$ | $(1 - p)^2$ | $2p(1 - p)$ | $p^2$ |
We verify that for all $p \in \mathbb{R}$, $p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 1$
$\mathcal{B}(3, p)$ :
| $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $p(X = k)$ | $(1 - p)^3$ | $3p(1 - p)^2$ | $3p^2(1 - p)$ | $p^3$ |
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
I - Repetición de experimentos idénticos e independientes
Definición 1 :
Se dice que 2 experimentos son independientes si el resultado de uno no tiene ninguna influencia sobre el resultado del otro.
Exemple : d'expériences aléatoires indépendantes
Experimento aleatorio: se lanza una moneda y se anota si sale CARA (C) o CRUZ (X).
Si se repite el experimento varias veces, los resultados obtenidos son independientes unos de otros.
El experimento aleatorio que consiste en lanzar simultáneamente varias monedas idénticas corresponde al mismo modelo.
Modelización mediante un árbol ponderado
- Cada nodo del árbol corresponde a un resultado del experimento aleatorio que se repite.
- En cada rama, se anota la probabilidad del resultado asociado al nodo de esa rama.
Para este experimento aleatorio: $p(\text{CARA}) = p(\text{CRUZ}) = 0.5$ - Una lista de resultados del experimento de lanzar las 3 monedas se lee en un camino de ramas.
El camino rodeado muestra la lista X, X, X obtenida cuando las 3 monedas salen CRUZ.
Propiedad 1 :
En un árbol ponderado que representa la repetición de experimentos aleatorios idénticos e independientes, la probabilidad de una lista de resultados es el producto de las probabilidades de cada resultado.
Application : Dans l'exemple
$p(\text{X,X,X}) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 = \frac{1}{8}$
Este resultado es coherente con lo que ya sabemos, ya que el árbol tiene 8 caminos y solo uno corresponde al resultado deseado.
II - Distribución de Bernoulli de parámetro $p$
Definición 2 :
Se llama prueba de Bernoulli de parámetro $p$ a un experimento aleatorio con 2 resultados: éxito con probabilidad igual a $p$ y fracaso.
Application : Arbre associé à une épreuve de Bernoulli
Si la probabilidad de obtener un éxito es igual a $p$, entonces la probabilidad de un fracaso es igual a $1 - p$.
Definición 3 :
Se llama variable aleatoria de Bernoulli de parámetro $p$ a la variable aleatoria $X$ que asocia el valor 1 a un éxito con probabilidad $p$ y el valor 0 a un fracaso con probabilidad $1 - p$.
Exemple : de variable aléatoire de Bernoulli
Lanzamos un dado equilibrado de 6 caras:
- Ganamos si sacamos 1 o 6
- Perdemos en caso contrario.
El espacio muestral asociado a este experimento aleatorio es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Sea $X$ la variable aleatoria que asocia a cada resultado el éxito o el fracaso.
| preimagen | imagen |
| 1 | Éxito |
| 2 | Fracaso |
| 3 | Fracaso |
| 4 | Fracaso |
| 5 | Fracaso |
| 6 | Éxito |
La probabilidad de hacer una jugada ganadora (ÉXITO) es $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
La probabilité de faire un coup perdant (ECHEC) est :
$1 - p = 1 - \frac{2}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Hemos definido una variable aleatoria de Bernoulli de parámetro $p = \frac{1}{3}$.
Definición 4 :
Se llama distribución de Bernoulli de parámetro $p$ a la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli $X$ de parámetro $p$.
| $x$ | 0 | 1 |
| $p(X = x)$ | $1 - p$ | $p$ |
Application : Loi de Bernoulli associée à l'exemple
La distribución de Bernoulli de parámetro $p = \frac{1}{3}$ se presenta en la siguiente tabla:
| $x$ | 0 | 1 |
| $p(X = x)$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
Propiedad 2 :
La esperanza matemática de una variable aleatoria de Bernoulli $X$ de parámetro $p$ es $E(X) = p$.
Justificación:
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$
III - Distribución binomial de parámetros $n$ y $p$
Definición 5 :
Se llama esquema de Bernoulli de parámetros $n$ y $p$ al experimento aleatorio que consiste en repetir $n$ pruebas de Bernoulli de parámetro $p$ idénticas e independientes.
Application : Arbre associé au schéma de Bernoulli
Se denota $S$ para el éxito y $\overline{S}$ para el fracaso.
Definición 6 :
Se llama distribución binomial de parámetros $n$ y $p$, denotada $\mathcal{B}(n, p)$, a la distribución de probabilidad de la variable aleatoria que asocia al esquema de Bernoulli de parámetros $n$ y $p$ el número de éxitos.
| $k$ | 0 | 1 | $\dots$ | $n$ |
| $p(X = k)$ | $p(X = 0)$ | $p(X = 1)$ | $\dots$ | $p(X = n)$ |
Application : Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ :
$\mathcal{B}(2, p)$ : Hay 1 camino para 0 éxitos: $p(X = 0) = (1 - p)(1 - p) = (1 - p)^2$.
Hay 2 caminos para 1 éxito: $p(X = 1) = p(1 - p) + (1 - p)p = 2p(1 - p)$.
Hay 1 camino para 2 éxitos: $p(X = 2) = p \times p = p^2$.
| $k$ | 0 | 1 | 2 |
| $p(X = k)$ | $(1 - p)^2$ | $2p(1 - p)$ | $p^2$ |
Verificamos que para todo $p \in \mathbb{R}$, $p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 1$
$\mathcal{B}(3, p)$ :
| $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $p(X = k)$ | $(1 - p)^3$ | $3p(1 - p)^2$ | $3p^2(1 - p)$ | $p^3$ |