Exercice 1 : Loi de probabilité, espérance et écart-typeExercise 1: Probability distribution, expected value and standard deviationEjercicio 1: Distribución de probabilidad, esperanza y desviación estándar
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous, où $p$ désigne un nombre réel :
$x_i$
$-3$
$0$
$2$
$5$
$p(X = x_i)$
$0,20$
$p$
$0,35$
$0,15$
1. En utilisant une propriété des lois de probabilité, déterminer la valeur exacte de $p$.
2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
3. Calculer la valeur de $E(X^2)$.
4. En déduire la variance $V(X)$ à l'aide de la formule du cours (Koenig-Huygens).
5. Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ en arrondissant le résultat au millième.
Let $X$ be a random variable whose probability distribution is given by the table below, where $p$ is a real number:
$x_i$
$-3$
$0$
$2$
$5$
$p(X = x_i)$
$0.20$
$p$
$0.35$
$0.15$
1. Using a property of probability distributions, determine the exact value of $p$.
2. Calculate the expected value $E(X)$.
3. Calculate the value of $E(X^2)$.
4. Deduce the variance $V(X)$ using the formula from the lesson (Koenig-Huygens).
5. Calculate the standard deviation $\sigma(X)$, rounding to the nearest thousandth.
Sea $X$ una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene dada por la siguiente tabla, donde $p$ es un número real:
$x_i$
$-3$
$0$
$2$
$5$
$p(X = x_i)$
$0.20$
$p$
$0.35$
$0.15$
1. Utilizando una propiedad de las distribuciones de probabilidad, determina el valor exacto de $p$.
2. Calcula la esperanza matemática $E(X)$.
3. Calcula el valor de $E(X^2)$.
4. Deduce la varianza $V(X)$ utilizando la fórmula de la lección (Koenig-Huygens).
5. Calcula la desviación estándar $\sigma(X)$ redondeando a las milésimas.
Corrigé :Solution:Solución:
La somme des probabilités d'une loi de probabilité est toujours égale à 1. On a donc :
$0,20 + p + 0,35 + 0,15 = 1 \iff 0,70 + p = 1 \iff p = 1 - 0,70 = $ $0,30$.
L'espérance $E(X)$ se calcule en pondérant chaque valeur par sa probabilité :
$E(X) = -3 \times 0,20 + 0 \times 0,30 + 2 \times 0,35 + 5 \times 0,15$
$E(X) = -0,60 + 0 + 0,70 + 0,75 = $ $0,85$.
Pour trouver $E(X^2)$, on élève chaque valeur $x_i$ au carré avant de multiplier :
$E(X^2) = (-3)^2 \times 0,20 + 0^2 \times 0,30 + 2^2 \times 0,35 + 5^2 \times 0,15$
$E(X^2) = 9 \times 0,20 + 0 + 4 \times 0,35 + 25 \times 0,15 = 1,80 + 1,40 + 3,75 = $ $6,95$.
Para encontrar $E(X^2)$, elevamos cada valor $x_i$ al cuadrado antes de multiplicar:
$E(X^2) = (-3)^2 \times 0.20 + 0^2 \times 0.30 + 2^2 \times 0.35 + 5^2 \times 0.15 = 1.80 + 1.40 + 3.75 = $ $6.95$.
Según la fórmula $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$:
$V(X) = 6.95 - (0.85)^2 = 6.95 - 0.7225 = $ $6.2275$.
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{6.2275} \approx $ $2.495$.
Exercice 2 : Jeu de hasard et équitéExercise 2: Game of chance and fairnessEjercicio 2: Juego de azar y equidad
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer une mise initiale de $2$ €. Il lance ensuite une grande roue bien équilibrée divisée en 8 secteurs de tailles identiques :
1 secteur affiche « Jackpot » et rapporte $10$ €.
2 secteurs affichent « Bonus » et rapportent $3$ €.
5 secteurs affichent « Perdu » et ne rapportent rien ($0$ €).
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur (c'est-à-dire la somme rapportée par la roue moins la mise initiale).
1. Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable aléatoire $X$ ?
2. Dresser le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
3. Calculer la probabilité que le joueur réalise un bénéfice (gain strictement positif).
4. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
5. Le jeu est-il favorable au joueur, à l'organisateur, ou est-il équitable ? Justifier.
To participate in a game, a player must pay an initial bet of €2. They then spin a fair wheel divided into 8 equal sectors:
1 sector says "Jackpot" and pays €10.
2 sectors say "Bonus" and pay €3.
5 sectors say "Lost" and pay nothing (€0).
Let $X$ be the random variable corresponding to the player's algebraic gain (i.e., the amount won minus the initial bet).
1. What are the possible values taken by the random variable $X$?
2. Draw the probability distribution table for $X$.
3. Calculate the probability that the player makes a profit (strictly positive gain).
4. Calculate the expected value $E(X)$.
5. Is the game favorable to the player, the organizer, or is it fair? Justify.
Para participar en un juego, un jugador debe pagar una apuesta inicial de 2 €. Luego hace girar una ruleta equilibrada dividida en 8 sectores iguales:
1 sector dice "Jackpot" y paga 10 €.
2 sectores dicen "Bonus" y pagan 3 €.
5 sectores dicen "Perdido" y no pagan nada (0 €).
Sea $X$ la variable aleatoria correspondiente a la ganancia algebraica del jugador (es decir, la cantidad ganada menos la apuesta inicial).
1. ¿Cuáles son los valores posibles que toma la variable aleatoria $X$?
2. Elabora la tabla de distribución de probabilidad de $X$.
3. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga un beneficio (ganancia estrictamente positiva).
4. Calcula la esperanza matemática $E(X)$.
5. ¿Es el juego favorable al jugador, al organizador, o es justo? Justifica.
Corrigé :Solution:Solución:
Le gain algébrique se calcule en soustrayant la mise de 2€ au montant remporté.
Si Jackpot : $10 - 2 = 8$.
Si Bonus : $3 - 2 = 1$.
Si Perdu : $0 - 2 = -2$.
Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $-2$, $1$ et $8$.
Il y a 8 secteurs au total. 1 donne 8€, 2 donnent 1€ et 5 donnent -2€ :
Comme $E(X) = 0$, en moyenne sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. Le jeu est donc strictement équitable.
The algebraic gain is the winnings minus the €2 bet.
Jackpot: $10 - 2 = 8$.
Bonus: $3 - 2 = 1$.
Lost: $0 - 2 = -2$.
The possible values for $X$ are: $-2$, $1$, and $8$.
Out of 8 sectors: 1 gives 8€, 2 give 1€, and 5 give -2€.
Table: $P(X=-2) = \dfrac{5}{8}$, $P(X=1) = \dfrac{2}{8}$, $P(X=8) = \dfrac{1}{8}$.
A profit means $X > 0$.
$P(X > 0) = P(X=1) + P(X=8) = \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = $ $\dfrac{3}{8}$.
Since $E(X) = 0$, the game is fair. Neither the player nor the organizer has a mathematical advantage.
La ganancia algebraica es el premio menos la apuesta de 2€.
Jackpot: $10 - 2 = 8$.
Bonus: $3 - 2 = 1$.
Perdido: $0 - 2 = -2$.
Los valores posibles para $X$ son: $-2$, $1$, y $8$.
De 8 sectores: 1 da 8€, 2 dan 1€, y 5 dan -2€.
Tabla: $P(X=-2) = \dfrac{5}{8}$, $P(X=1) = \dfrac{2}{8}$, $P(X=8) = \dfrac{1}{8}$.
Un beneficio significa $X > 0$.
$P(X > 0) = P(X=1) + P(X=8) = \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = $ $\dfrac{3}{8}$.
La variable aléatoire $Y$ modélise le gain algébrique d'un jeu de grattage. Sa loi de probabilité dépend d'un paramètre $k$ strictement positif ($k > 0$) qui correspond au prix d'achat du ticket.
$y_i$
$-k$
$2$
$10$
$p(Y = y_i)$
$0,6$
$0,3$
$0,1$
1. Que représente concrètement la valeur $-k$ dans le contexte de ce jeu de grattage ?
2. Exprimer l'espérance $E(Y)$ en fonction du paramètre $k$.
3. L'organisateur souhaite que le jeu soit équitable. Déterminer la valeur du prix du ticket $k$ à fixer.
4. L'organisateur décide finalement de fixer le prix du ticket à $k = 2$ €. Calculer la nouvelle espérance $E(Y)$. À qui profite le jeu ?
5. Toujours en fixant $k = 2$, calculer la variance $V(Y)$.
The random variable $Y$ models the algebraic gain of a scratch card game. Its probability distribution depends on a strictly positive parameter $k$ ($k > 0$), representing the ticket price.
$y_i$
$-k$
$2$
$10$
$p(Y = y_i)$
$0.6$
$0.3$
$0.1$
1. What does the value $-k$ concretely represent in the context of this game?
2. Express the expected value $E(Y)$ in terms of $k$.
3. The organizer wants the game to be fair. Determine the ticket price $k$ to be set.
4. The organizer finally decides to set $k = 2$ €. Calculate the new expected value $E(Y)$. Who benefits from this game?
5. Still using $k = 2$, calculate the variance $V(Y)$.
La variable aleatoria $Y$ modela la ganancia algebraica de un rasca y gana. Su distribución de probabilidad depende de un parámetro $k$ estrictamente positivo ($k > 0$), que representa el precio del billete.
$y_i$
$-k$
$2$
$10$
$p(Y = y_i)$
$0.6$
$0.3$
$0.1$
1. ¿Qué representa concretamente el valor $-k$ en el contexto de este juego?
2. Expresa la esperanza $E(Y)$ en función de $k$.
3. El organizador quiere que el juego sea justo. Determina el precio del billete $k$ que debe fijarse.
4. El organizador decide finalmente fijar $k = 2$ €. Calcula la nueva esperanza $E(Y)$. ¿A quién beneficia el juego?
5. Todavía con $k = 2$, calcula la varianza $V(Y)$.
Corrigé :Solution:Solución:
La valeur $-k$ correspond à la situation où le ticket de grattage est perdant. Le joueur perd alors sa mise initiale $k$, ce qui se traduit par un gain algébrique négatif de $-k$ euros.
Un jeu est équitable si $E(Y) = 0$. On résout l'équation :
$1,6 - 0,6k = 0 \iff 0,6k = 1,6 \iff k = \dfrac{1,6}{0,6} = \dfrac{16}{6} = $ $\dfrac{8}{3}$.
Le prix devrait être fixé à environ 2,67 €.
En fixant $k = 2$, l'espérance devient :
$E(Y) = 1,6 - (0,6 \times 2) = 1,6 - 1,2 = $ $0,4$.
L'espérance est strictement positive (0,40€ de gain moyen par partie). Le jeu est donc favorable au joueur.
Para que sea justo, $E(Y) = 0$.
$1.6 - 0.6k = 0 \iff k = \dfrac{1.6}{0.6} = \dfrac{16}{6} = $ $\dfrac{8}{3}$.
El precio debería ser de aproximadamente 2.67 €.
Con $k = 2$, $E(Y) = 1.6 - 1.2 = $ $0.4$.
Como es positiva, el juego es favorable al jugador.
Exercice 4 : Tirages successifs avec remiseExercise 4: Successive draws with replacementEjercicio 4: Extracciones sucesivas con reemplazo
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 4 boules Vertes et 2 boules Jaunes.
On tire une première boule au hasard, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On tire ensuite une deuxième boule au hasard.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de boules Jaunes obtenues à l'issue de ces deux tirages.
1. Modéliser cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable aléatoire $X$ ?
3. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule Jaune. (On donnera les probabilités sous forme de fractions).
4. Dresser la loi de probabilité complète de la variable $X$.
5. Calculer l'espérance $E(X)$. Comment interpréter ce résultat ?
An urn contains 6 identical balls: 4 Green and 2 Yellow.
We draw a first ball at random, note its color, then put it back in the urn. We then draw a second ball.
Let $X$ be the random variable corresponding to the number of Yellow balls obtained after these two draws.
1. Model this random experiment using a probability tree.
2. What are the possible values for the random variable $X$?
3. Calculate the probability of obtaining exactly one Yellow ball. (Give probabilities as fractions).
4. Draw the full probability distribution table for $X$.
5. Calculate the expected value $E(X)$. How do you interpret this result?
Una urna contiene 6 bolas idénticas: 4 Verdes y 2 Amarillas.
Sacamos una primera bola al azar, anotamos su color y luego la devolvemos a la urna. Luego sacamos una segunda bola.
Sea $X$ la variable aleatoria correspondiente al número de bolas Amarillas obtenidas después de estas dos extracciones.
1. Modela este experimento aleatorio usando un diagrama de árbol.
2. ¿Cuáles son los valores posibles para la variable aleatoria $X$?
3. Calcula la probabilidad de obtener exactamente una bola Amarilla. (Da las probabilidades como fracciones).
4. Elabora la tabla de distribución de probabilidad completa para $X$.
5. Calcula la esperanza $E(X)$. ¿Cómo interpretas este resultado?
Corrigé :Solution:Solución:
L'arbre est modélisé ci-dessus. Comme le tirage se fait avec remise, la probabilité reste constante : $P(V) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $P(J) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
On peut piocher $0$ boule jaune (chemin V-V), $1$ boule jaune (chemins V-J et J-V) ou $2$ boules jaunes (chemin J-J).
Les valeurs prises par $X$ sont donc $0$, $1$ et $2$.
$E(X) = 0 \times \dfrac{4}{9} + 1 \times \dfrac{4}{9} + 2 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9} = $ $\dfrac{2}{3}$. Interprétation : Si l'on répète cette double-pioche un grand nombre de fois, on obtiendra en moyenne $\dfrac{2}{3}$ de boule jaune par expérience (soit environ 0,67 boule jaune).
The tree is modeled above. Since it's with replacement, probabilities are constant: $P(V) = 2/3$ and $P(Y) = 1/3$.
$E(X) = 0(4/9) + 1(4/9) + 2(1/9) = \dfrac{6}{9} = $ $\dfrac{2}{3}$. Interpretation: Over many trials, we will draw on average $\dfrac{2}{3}$ of a Yellow ball per trial.
El árbol se modela arriba. Como es con reemplazo, las probabilidades son constantes: $P(V) = 2/3$ y $P(A) = 1/3$.
Los valores posibles para $X$ son $0$, $1$, y $2$.
$E(X) = 0(4/9) + 1(4/9) + 2(1/9) = \dfrac{6}{9} = $ $\dfrac{2}{3}$. Interpretación: Si repetimos esto muchas veces, sacaremos en promedio $\dfrac{2}{3}$ de una bola Amarilla por experimento.
Exercice 5 : Propriétés de l'espérance et de la varianceExercise 5: Properties of expected value and varianceEjercicio 5: Propiedades de la esperanza y varianza
Un commercial vend des voitures. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de voitures vendues par ce commercial en une semaine.
Une étude sur le long terme a montré que l'espérance de $X$ est $E(X) = 3,5$ et que son écart-type est $\sigma(X) = 1,2$.
Le salaire hebdomadaire du commercial, noté $S$ et exprimé en euros, est composé d'une base fixe de $400$ € à laquelle s'ajoute une commission de $150$ € pour chaque voiture vendue.
1. Exprimer la variable aléatoire $S$ en fonction de la variable aléatoire $X$.
2. En utilisant les propriétés de l'espérance mathématique, calculer l'espérance $E(S)$. Que représente cette valeur ?
3. Déterminer la valeur exacte de la variance $V(X)$.
4. En utilisant une propriété du cours justifier l'expression de la variance $V(S)$, puis la calculer.
5. Calculer l'écart-type $\sigma(S)$ du salaire. Vérifier qu'il est exactement égal à $150 \times \sigma(X)$.
A salesperson sells cars. Let $X$ be the random variable corresponding to the number of cars sold per week.
A long-term study shows that $E(X) = 3.5$ and $\sigma(X) = 1.2$.
The weekly salary $S$ (in euros) consists of a fixed base of €400 plus a €150 commission for each car sold.
1. Express the random variable $S$ in terms of $X$.
2. Using the properties of expected value, calculate $E(S)$. What does this represent?
3. Determine the exact variance $V(X)$.
4. Using a property from the lesson, justify the expression of $V(S)$, then calculate it.
5. Calculate the standard deviation $\sigma(S)$ of the salary. Verify it equals $150 \times \sigma(X)$.
Un vendedor de coches. Sea $X$ la variable aleatoria correspondiente al número de coches vendidos por semana.
Un estudio muestra que $E(X) = 3.5$ y $\sigma(X) = 1.2$.
El salario semanal $S$ (en euros) se compone de una base fija de 400 € más una comisión de 150 € por coche vendido.
1. Expresa la variable aleatoria $S$ en función de $X$.
2. Usando las propiedades de la esperanza, calcula $E(S)$. ¿Qué representa esto?
3. Determina la varianza exacta $V(X)$.
4. Usando una propiedad de la lección, justifica la expresión de $V(S)$ y calcúlala.
5. Calcula la desviación estándar $\sigma(S)$ del salario. Verifica que equivale a $150 \times \sigma(X)$.
Corrigé :Solution:Solución:
Pour $X$ voitures vendues, le salaire est la base fixe (400) plus 150 par voiture.
Donc : $S = 150X + 400$.
On sait que $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, donc $V(X) = (\sigma(X))^2$.
$V(X) = 1,2^2 = $ $1,44$.
D'après la propriété sur la variance d'une transformation affine $V(aX + b) = a^2 V(X)$ :
$V(S) = V(150X + 400) = 150^2 \times V(X)$
$V(S) = 22500 \times 1,44 = $ $32\,400$.
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
$\sigma(S) = \sqrt{32400} = $ $180$.
Vérification : $150 \times \sigma(X) = 150 \times 1,2 = 180$. On constate bien que la base fixe de 400€ ne modifie pas l'écart-type (la dispersion), seule la commission variable l'influence (multiplication par 150).
The salary is the fixed base plus 150 per car: $S = 150X + 400$.
Using $E(aX + b) = aE(X) + b$:
$E(S) = 150 E(X) + 400 = 150(3.5) + 400 = $ $925$.
This is the average weekly salary.
Since $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, $V(X) = 1.2^2 = $ $1.44$.
Using $V(aX + b) = a^2 V(X)$:
$V(S) = 150^2 \times V(X) = 22500 \times 1.44 = $ $32,400$.
$\sigma(S) = \sqrt{32400} = $ $180$.
Verification: $150 \times 1.2 = 180$. The fixed base does not change dispersion.
El salario es la base fija más 150 por coche: $S = 150X + 400$.
Usando $E(aX + b) = aE(X) + b$:
$E(S) = 150 E(X) + 400 = 150(3.5) + 400 = $ $925$.
Este es el salario semanal promedio.
Como $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, $V(X) = 1.2^2 = $ $1.44$.