VARIABLES ALÉATOIRES
I - Notion de variable aléatoire
On note $E$ l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire appelé univers.
Définition 1 :
On appelle variable aléatoire $X$ une fonction qui à chaque issue de $E$ associe un réel.
Exemple : de variable aléatoire
On lance un dé équilibré à 6 faces :
- -- On gagne 1 € si on fait 1, 2 ou 3
- -- On gagne 3 € si on fait 4
- -- On perd 2 € si on fait 5 ou 6.
L'univers associé à cette expérience aléatoire est $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque issue le gain obtenu.
| antécédent | image |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 4 | 3 |
| 5 | -2 |
| 6 | -2 |
II - Loi de probabilité
Notation : On note $X = x$ l'ensemble des antécédents de $x$ par $X$.
L'ensemble des antécédents de $x$ par $X$ est un ensemble d'issues donc c'est un évènement.
Application : Dans l'exemple
Les antécédents de 1 sont 1, 2 et 3. Donc l'évènement $X = 1$ est l'ensemble $\{1, 2, 3\}$.
L'antécédent de 3 est 4. Donc l'évènement $X = 3$ est l'ensemble $\{4\}$.
Les antécédents de $-2$ sont 5 et 6. Donc l'évènement $X = -2$ est l'ensemble $\{5, 6\}$.
Définition 2 :
On appelle loi de probabilité de $X$ la fonction qui à chaque évènement $X = x_i$ associe sa probabilité $p_i$.
Notation : On présente une loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| $p(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Application : Dans l'exemple
| $x_i$ | $-2$ | $1$ | $3$ |
| $p(X = x_i)$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |
$p(X = -2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ; $p(X = 1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ; $p(X = 3) = \frac{1}{6}$
Propriété 1 :
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ :
- Pour tout $i \in [1, n]$, $0 \leq p_i \leq 1$.
- $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$
III - Espérance, variance et écart-type
Définition 3 :
On appelle espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ le réel :
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n = \sum\limits_{i=1}^n x_i p_i$
Application : Dans l'exemple
$E(X) = -2 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{-2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
Remarque :
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ s'interprète comme la moyenne des valeurs prises par $X$ pondérées par leur fréquence d'apparition lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.
Dans le langage des jeux, l'espérance mathématique correspond au gain moyen.
Si $E(X) = 0$ alors le jeu est équitable.
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ ;
Définition 4 :
On appelle variance d'une variable aléatoire $X$, notée $V(X)$, le nombre réel tel que :
$V(X) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + \dots + p_n \times [x_n - E(X)]^2 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \times [x_i - E(X)]^2$
On appelle écart-type d'une variable aléatoire $X$, notée $\sigma(X)$, le nombre réel tel que :
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Remarque : L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, pondérées par leur probabilité.
Propriété 2 :
$V(X) = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 p_i - [E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$
Démonstration :
$V(X) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + \dots + p_n \times [x_n - E(X)]^2$
$\phantom{V(X)} = p_1 \times [x_1^2 - 2x_1E(X) + E(X)^2] + \dots + p_n \times [x_n^2 - 2x_nE(X) + E(X)^2]$
$\phantom{V(X)} = p_1x_1^2 - 2p_1x_1E(X) + p_1E(X)^2 + \dots + p_nx_n^2 - 2p_nx_nE(X) + p_nE(X)^2$
$\phantom{V(X)} = (p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2) - 2E(X)(p_1x_1 + \dots + p_nx_n) + (p_1 + \dots + p_n)E(X)^2$
or $p_1 + \dots + p_n = 1$ et $p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = E(X^2)$
donc $V(X) = E(X^2) - 2E(X)(p_1x_1 + \dots + p_nx_n) + 1 \times E(X)^2$
$\phantom{donc V(X)} = E(X^2) - 2E(X)E(X) + 1 \times E(X)^2$
$\phantom{donc V(X)} = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2$
$\phantom{donc V(X)} = E(X^2) - E(X)^2$
Propriété 3 :
Soit $a$ et $b$ deux réels ;
$E(aX + b) = aE(X) + b$
$V(aX + b) = a^2 V(X)$
Démonstration :
-
$E(aX + b) = \sum\limits_{i=1}^n (ax_i + b)p_i = \sum\limits_{i=1}^n (ax_ip_i + bp_i)$
$\phantom{E(aX + b)} = ax_1p_1 + \dots + ax_np_n + bp_1 + \dots + bp_n$
$\phantom{E(aX + b)} = a(x_1p_1 + \dots + x_np_n) + b(p_1 + \dots + p_n)$
or $p_1 + \dots + p_n = 1$ et $p_1x_1 + \dots + p_nx_n = E(X)$ donc $E(aX + b) = aE(X) + b$. -
$V(aX + b) = E((aX + b)^2) - [E(aX + b)]^2$
On utilise l'égalité précédente :
$V(aX + b) = E((aX)^2 + 2 \times aX \times b + b^2) - [aE(X) + b]^2$
$\phantom{V(aX + b)} = E(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a^2[E(X)]^2 + 2abE(X) + b^2)$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2E(X^2) + 2abE(X) + b^2 - a^2[E(X)]^2 - 2abE(X) - b^2$
Les termes $2abE(X)$ et $-2abE(X)$ s'annulent, ainsi que $b^2$ et $-b^2$ :
$\phantom{V(aX + b)} = a^2E(X^2) - a^2[E(X)]^2$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2(E(X^2) - [E(X)]^2)$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2V(X)$
RANDOM VARIABLES
I - Concept of random variable
Let $E$ be the set of outcomes of a random experiment called sample space.
Definition 1 :
A random variable $X$ is a function that assigns a real number to each outcome in $E$.
Exemple : de variable aléatoire
We roll a fair 6-sided die:
- -- We win €1 if we roll a 1, 2, or 3
- -- We win €3 if we roll a 4
- -- We lose €2 if we roll a 5 or 6.
The sample space associated with this random experiment is $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Let $X$ be the random variable that associates each outcome with the resulting gain or loss.
| preimage | image |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 4 | 3 |
| 5 | -2 |
| 6 | -2 |
II - Probability distribution
Notation: On note $X = x$ l'ensemble des preimages de $x$ par $X$.
L'ensemble des preimages de $x$ par $X$ est un ensemble d'issues thus c'est un évènement.
Application : Dans l'exemple
Les preimages de 1 sont 1, 2 et 3. Donc l'évènement $X = 1$ est l'ensemble $\{1, 2, 3\}$.
L'preimage de 3 est 4. Donc l'évènement $X = 3$ est l'ensemble $\{4\}$.
Les preimages de $-2$ sont 5 et 6. Donc l'évènement $X = -2$ est l'ensemble $\{5, 6\}$.
Definition 2 :
The probability distribution of $X$ is the function that assigns to each event $X = x_i$ its probability $p_i$.
Notation: A probability distribution is presented in the form of a table.
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| $p(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Application : Dans l'exemple
| $x_i$ | $-2$ | $1$ | $3$ |
| $p(X = x_i)$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |
$p(X = -2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ; $p(X = 1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ; $p(X = 3) = \frac{1}{6}$
Property 1 :
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ :
- For all $i \in [1, n]$, $0 \leq p_i \leq 1$.
- $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$
III - Expected value, variance, and standard deviation
Definition 3 :
The expected value of a random variable $X$ taking the values $x_1, x_2, \dots, x_n$ with probabilities $p_1, p_2, \dots, p_n$ is the real number:
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n = \sum\limits_{i=1}^n x_i p_i$
Application : Dans l'exemple
$E(X) = -2 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{-2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
Remark:
The expected value of the random variable $X$ can be interpreted as the mean of the values taken by $X$, weighted by their frequency of occurrence when the random experiment is repeated a large number of times.
In the context of gambling, the expected value corresponds to the average expected payoff.
If $E(X) = 0$, then the game is fair.
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ ;
Definition 4 :
The variance of a random variable $X$, denoted $V(X)$, is the real number such that:
$V(X) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + \dots + p_n \times [x_n - E(X)]^2 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \times [x_i - E(X)]^2$
The standard deviation of a random variable $X$, denoted $\sigma(X)$, is the real number such that:
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Remark: The standard deviation measures the dispersion of values around the expected value, weighted by their probability.
Property 2 :
$V(X) = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 p_i - [E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$
Proof :
$V(X) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + \dots + p_n \times [x_n - E(X)]^2$
$\phantom{V(X)} = p_1 \times [x_1^2 - 2x_1E(X) + E(X)^2] + \dots + p_n \times [x_n^2 - 2x_nE(X) + E(X)^2]$
$\phantom{V(X)} = p_1x_1^2 - 2p_1x_1E(X) + p_1E(X)^2 + \dots + p_nx_n^2 - 2p_nx_nE(X) + p_nE(X)^2$
$\phantom{V(X)} = (p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2) - 2E(X)(p_1x_1 + \dots + p_nx_n) + (p_1 + \dots + p_n)E(X)^2$
or $p_1 + \dots + p_n = 1$ et $p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = E(X^2)$
thus $V(X) = E(X^2) - 2E(X)(p_1x_1 + \dots + p_nx_n) + 1 \times E(X)^2$
$\phantom{thus V(X)} = E(X^2) - 2E(X)E(X) + 1 \times E(X)^2$
$\phantom{thus V(X)} = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2$
$\phantom{thus V(X)} = E(X^2) - E(X)^2$
Property 3 :
Let $a$ and $b$ be two real numbers;
$E(aX + b) = aE(X) + b$
$V(aX + b) = a^2 V(X)$
Proof :
-
$E(aX + b) = \sum\limits_{i=1}^n (ax_i + b)p_i = \sum\limits_{i=1}^n (ax_ip_i + bp_i)$
$\phantom{E(aX + b)} = ax_1p_1 + \dots + ax_np_n + bp_1 + \dots + bp_n$
$\phantom{E(aX + b)} = a(x_1p_1 + \dots + x_np_n) + b(p_1 + \dots + p_n)$
or $p_1 + \dots + p_n = 1$ et $p_1x_1 + \dots + p_nx_n = E(X)$ thus $E(aX + b) = aE(X) + b$. -
$V(aX + b) = E((aX + b)^2) - [E(aX + b)]^2$
Using the previous equality:
$V(aX + b) = E((aX)^2 + 2 \times aX \times b + b^2) - [aE(X) + b]^2$
$\phantom{V(aX + b)} = E(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a^2[E(X)]^2 + 2abE(X) + b^2)$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2E(X^2) + 2abE(X) + b^2 - a^2[E(X)]^2 - 2abE(X) - b^2$
The terms $2abE(X)$ and $-2abE(X)$ cancel out, as do $b^2$ and $-b^2$:
$\phantom{V(aX + b)} = a^2E(X^2) - a^2[E(X)]^2$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2(E(X^2) - [E(X)]^2)$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2V(X)$
VARIABLES ALEATORIAS
I - Noción de variable aleatoria
Denotamos por $E$ el conjunto de resultados de un experimento aleatorio llamado espacio muestral.
Definición 1 :
Se llama variable aleatoria $X$ a una función que asocia a cada resultado de $E$ un número real.
Exemple : de variable aléatoire
Lanzamos un dado equilibrado de 6 caras:
- -- Ganamos 1 € si sale 1, 2 o 3
- -- Ganamos 3 € si sale 4
- -- Perdemos 2 € si sale 5 o 6.
El espacio muestral asociado a este experimento aleatorio es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Sea $X$ la variable aleatoria que asocia a cada resultado la ganancia obtenida.
| preimagenn | imagen |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 4 | 3 |
| 5 | -2 |
| 6 | -2 |
II - Distribución de probabilidad
Notación: On note $X = x$ l'ensemble des preimagenns de $x$ par $X$.
L'ensemble des preimagenns de $x$ par $X$ est un ensemble d'issues luego c'est un évènement.
Application : Dans l'exemple
Les preimagenns de 1 sont 1, 2 et 3. Donc l'évènement $X = 1$ est l'ensemble $\{1, 2, 3\}$.
L'preimagenn de 3 est 4. Donc l'évènement $X = 3$ est l'ensemble $\{4\}$.
Les preimagenns de $-2$ sont 5 et 6. Donc l'évènement $X = -2$ est l'ensemble $\{5, 6\}$.
Definición 2 :
Se llama distribución de probabilidad de $X$ a la función que a cada evento $X = x_i$ le asocia su probabilidad $p_i$.
Notación: Se presenta una distribución de probabilidad en forma de tabla.
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| $p(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Application : Dans l'exemple
| $x_i$ | $-2$ | $1$ | $3$ |
| $p(X = x_i)$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |
$p(X = -2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ; $p(X = 1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ; $p(X = 3) = \frac{1}{6}$
Propiedad 1 :
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ :
- Para todo $i \in [1, n]$, $0 \leq p_i \leq 1$.
- $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$
III - Esperanza, varianza y desviación estándar
Definición 3 :
Se llama esperanza matemática de una variable aleatoria $X$ que toma los valores $x_1, x_2, \dots, x_n$ con las probabilidades $p_1, p_2, \dots, p_n$ al número real:
$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n = \sum\limits_{i=1}^n x_i p_i$
Application : Dans l'exemple
$E(X) = -2 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{-2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
Observación:
La esperanza matemática de la variable aleatoria $X$ se interpreta como la media de los valores que toma $X$ ponderados por su frecuencia de aparición cuando se repite un gran número de veces el experimento aleatorio.
En el contexto de los juegos, la esperanza matemática corresponde a la ganancia media esperada.
Si $E(X) = 0$ entonces el juego es justo.
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, p_2, \dots, p_n$ ;
Definición 4 :
Se llama varianza de una variable aleatoria $X$, denotada $V(X)$, al número real tal que:
$V(X) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + \dots + p_n \times [x_n - E(X)]^2 = \sum\limits_{i=1}^n p_i \times [x_i - E(X)]^2$
Se llama desviación estándar de una variable aleatoria $X$, denotada $\sigma(X)$, al número real tal que:
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Observación: La desviación estándar mide la dispersión de los valores alrededor de la esperanza, ponderados por su probabilidad.
Propiedad 2 :
$V(X) = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 p_i - [E(X)]^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$
Demostración :
$V(X) = p_1 \times [x_1 - E(X)]^2 + \dots + p_n \times [x_n - E(X)]^2$
$\phantom{V(X)} = p_1 \times [x_1^2 - 2x_1E(X) + E(X)^2] + \dots + p_n \times [x_n^2 - 2x_nE(X) + E(X)^2]$
$\phantom{V(X)} = p_1x_1^2 - 2p_1x_1E(X) + p_1E(X)^2 + \dots + p_nx_n^2 - 2p_nx_nE(X) + p_nE(X)^2$
$\phantom{V(X)} = (p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2) - 2E(X)(p_1x_1 + \dots + p_nx_n) + (p_1 + \dots + p_n)E(X)^2$
or $p_1 + \dots + p_n = 1$ et $p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = E(X^2)$
luego $V(X) = E(X^2) - 2E(X)(p_1x_1 + \dots + p_nx_n) + 1 \times E(X)^2$
$\phantom{luego V(X)} = E(X^2) - 2E(X)E(X) + 1 \times E(X)^2$
$\phantom{luego V(X)} = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2$
$\phantom{luego V(X)} = E(X^2) - E(X)^2$
Propiedad 3 :
Sean $a$ y $b$ dos números reales;
$E(aX + b) = aE(X) + b$
$V(aX + b) = a^2 V(X)$
Demostración :
-
$E(aX + b) = \sum\limits_{i=1}^n (ax_i + b)p_i = \sum\limits_{i=1}^n (ax_ip_i + bp_i)$
$\phantom{E(aX + b)} = ax_1p_1 + \dots + ax_np_n + bp_1 + \dots + bp_n$
$\phantom{E(aX + b)} = a(x_1p_1 + \dots + x_np_n) + b(p_1 + \dots + p_n)$
or $p_1 + \dots + p_n = 1$ et $p_1x_1 + \dots + p_nx_n = E(X)$ luego $E(aX + b) = aE(X) + b$. -
$V(aX + b) = E((aX + b)^2) - [E(aX + b)]^2$
Utilizamos la igualdad anterior:
$V(aX + b) = E((aX)^2 + 2 \times aX \times b + b^2) - [aE(X) + b]^2$
$\phantom{V(aX + b)} = E(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a^2[E(X)]^2 + 2abE(X) + b^2)$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2E(X^2) + 2abE(X) + b^2 - a^2[E(X)]^2 - 2abE(X) - b^2$
Los términos $2abE(X)$ y $-2abE(X)$ se anulan, así como $b^2$ y $-b^2$:
$\phantom{V(aX + b)} = a^2E(X^2) - a^2[E(X)]^2$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2(E(X^2) - [E(X)]^2)$
$\phantom{V(aX + b)} = a^2V(X)$