GÉOMÉTRIE DANS LE TRIANGLEGEOMETRY IN THE TRIANGLEGEOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO
ExercicesExercisesEjercicios
Exercice 1 : Calcul de longueurs avec Al-KashiExercise 1: Calculating lengths with the Law of CosinesEjercicio 1: Cálculo de longitudes con el Teorema del coseno
Soit $ABC$ un triangle. On note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.
1. Si $b=5$, $c=8$ et $\widehat{A}=60^\circ$, calculer $a$.
2. Si $a=7$, $c=3$ et $\widehat{B}=120^\circ$, calculer $b$.
3. Si $a=4$, $b=6$ et $\widehat{C}=45^\circ$, calculer $c^2$.
4. Si $b=10$, $c=10$ et $\widehat{A}=90^\circ$, calculer $a$.
5. Si $a=6$, $c=5$ et $\widehat{B}=60^\circ$, calculer $b$.
Let $ABC$ be a triangle. We denote $a=BC$, $b=AC$ and $c=AB$.
1. If $b=5$, $c=8$ and $\widehat{A}=60^\circ$, calculate $a$.
2. If $a=7$, $c=3$ and $\widehat{B}=120^\circ$, calculate $b$.
3. If $a=4$, $b=6$ and $\widehat{C}=45^\circ$, calculate $c^2$.
4. If $b=10$, $c=10$ and $\widehat{A}=90^\circ$, calculate $a$.
5. If $a=6$, $c=5$ and $\widehat{B}=60^\circ$, calculate $b$.
Sea $ABC$ un triángulo. Denotamos $a=BC$, $b=AC$ y $c=AB$.
1. Si $b=5$, $c=8$ y $\widehat{A}=60^\circ$, calcula $a$.
2. Si $a=7$, $c=3$ y $\widehat{B}=120^\circ$, calcula $b$.
3. Si $a=4$, $b=6$ y $\widehat{C}=45^\circ$, calcula $c^2$.
4. Si $b=10$, $c=10$ y $\widehat{A}=90^\circ$, calcula $a$.
5. Si $a=6$, $c=5$ y $\widehat{B}=60^\circ$, calcula $b$.
Exercice 2 : Calcul d'angles avec Al-KashiExercise 2: Calculating angles with the Law of CosinesEjercicio 2: Cálculo de ángulos con el Teorema del coseno
Soit $ABC$ un triangle. On rappelle que $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.
1. Si $a=7$, $b=5$ et $c=8$, calculer $\cos \widehat{A}$.
2. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{A}$ en degrés.
3. Si $a=13$, $b=14$ et $c=15$, calculer $\cos \widehat{C}$.
4. Si $a=\sqrt{2}$, $b=1$ et $c=1$, calculer $\cos \widehat{A}$.
5. En déduire la nature du triangle $ABC$ pour la question 4.
Let $ABC$ be a triangle. Recall that $a=BC$, $b=AC$ and $c=AB$.
1. If $a=7$, $b=5$ and $c=8$, calculate $\cos \widehat{A}$.
2. Deduce the measure of the angle $\widehat{A}$ in degrees.
3. If $a=13$, $b=14$ and $c=15$, calculate $\cos \widehat{C}$.
4. If $a=\sqrt{2}$, $b=1$ and $c=1$, calculate $\cos \widehat{A}$.
5. Deduce the nature of the triangle $ABC$ for question 4.
Sea $ABC$ un triángulo. Recordamos que $a=BC$, $b=AC$ y $c=AB$.
1. Si $a=7$, $b=5$ y $c=8$, calcula $\cos \widehat{A}$.
2. Deduce la medida del ángulo $\widehat{A}$ en grados.
3. Si $a=13$, $b=14$ y $c=15$, calcula $\cos \widehat{C}$.
4. Si $a=\sqrt{2}$, $b=1$ y $c=1$, calcula $\cos \widehat{A}$.
5. Deduce la naturaleza del triángulo $ABC$ para la pregunta 4.
Ya que $PI$ es una distancia, $PI \ge 0$. Así $PI = \sqrt{25} =$ $5$.
Exercice 4 : Ensembles de pointsExercise 4: Sets of pointsEjercicio 4: Conjuntos de puntos
Soit $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 8$ et $I$ le milieu de $[AB]$.
1. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
2. Réécrire l'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 9$ en utilisant la distance $MI$.
3. En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 9$.
4. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16$.
5. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -20$.
Let $A$ and $B$ be two points such that $AB = 8$ and $I$ the midpoint of $[AB]$.
1. Determine the set of points $M$ such that $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
2. Rewrite the equation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 9$ using the distance $MI$.
3. Deduce the set of points $M$ such that $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 9$.
4. Determine the set of points $M$ such that $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16$.
5. Determine the set of points $M$ such that $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -20$.
Sean $A$ y $B$ dos puntos tales que $AB = 8$ e $I$ el punto medio de $[AB]$.
1. Determina el conjunto de los puntos $M$ tales que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
2. Reescribe la ecuación $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 9$ usando la distancia $MI$.
3. Deduce el conjunto de los puntos $M$ tales que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 9$.
4. Determina el conjunto de los puntos $M$ tales que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16$.
5. Determina el conjunto de los puntos $M$ tales que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -20$.
Corrigé :Solution:Solución:
D'après le cours, l'ensemble cherché est le cercle de diamètre $[AB]$.
On sait que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = MI^2 - \dfrac{8^2}{4} = MI^2 - 16$. L'équation devient donc : $MI^2 - 16 = 9 \iff MI^2 =$ $25$.
$MI^2 = 25 \iff MI = 5$ (car $MI \ge 0$). L'ensemble des points situés à une distance $5$ du point $I$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $5$.
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16 \iff MI^2 - 16 = -16 \iff MI^2 = 0 \iff MI = 0$. Le seul point confondu avec $I$ est $I$ lui-même. L'ensemble est donc le point $I$ (singleton $\{I\}$).
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -20 \iff MI^2 - 16 = -20 \iff MI^2 = -4$. Un carré réel étant toujours positif, cette équation n'a pas de solution. L'ensemble est vide ($\emptyset$).
According to the lesson, the set is the circle with diameter $[AB]$.
We know that $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = MI^2 - \dfrac{8^2}{4} = MI^2 - 16$. The equation becomes: $MI^2 - 16 = 9 \iff MI^2 =$ $25$.
$MI^2 = 25 \iff MI = 5$ (since $MI \ge 0$). The set of points located at a distance of $5$ from point $I$ is the circle with center $I$ and radius $5$.
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16 \iff MI^2 - 16 = -16 \iff MI^2 = 0 \iff MI = 0$. The only point identical to $I$ is $I$ itself. The set is therefore the point $I$ (singleton $\{I\}$).
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -20 \iff MI^2 - 16 = -20 \iff MI^2 = -4$. A real square being always positive, this equation has no solution. The set is empty ($\emptyset$).
Según el curso, el conjunto es la circunferencia de diámetro $[AB]$.
$MI^2 = 25 \iff MI = 5$ (ya que $MI \ge 0$). El conjunto de los puntos situados a una distancia $5$ del punto $I$ es la circunferencia de centro $I$ y radio $5$.
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -16 \iff MI^2 - 16 = -16 \iff MI^2 = 0 \iff MI = 0$. El único punto idéntico a $I$ es el propio $I$. El conjunto es por tanto el punto $I$ (conjunto unitario $\{I\}$).
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -20 \iff MI^2 - 16 = -20 \iff MI^2 = -4$. Un cuadrado real siendo siempre positivo, esta ecuación no tiene solución. El conjunto es vacío ($\emptyset$).
Exercice 5 : Longueur d'une médiane et synthèseExercise 5: Length of a median and synthesisEjercicio 5: Longitud de una mediana y síntesis
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$, $AC = 4$ et $BC = 8$. On note $I$ le milieu du segment $[BC]$.
1. À l'aide de l'égalité $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\|^2$, on montre que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$. Calculer cette valeur.
2. D'après la propriété 2 du cours appliquée aux points $B$ et $C$, exprimer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en fonction de $AI$ et $BC$.
3. Utiliser les questions précédentes pour trouver la valeur de $AI^2$.
4. En déduire la longueur exacte de la médiane $AI$.
5. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = -16$.
Let $ABC$ be a triangle such that $AB = 6$, $AC = 4$ and $BC = 8$. Let $I$ be the midpoint of the segment $[BC]$.
1. Using the equality $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\|^2$, it can be shown that $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$. Calculate this value.
2. According to property 2 of the lesson applied to points $B$ and $C$, express $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ in terms of $AI$ and $BC$.
3. Use the previous questions to find the value of $AI^2$.
4. Deduce the exact length of the median $AI$.
5. Determine the set of points $M$ in the plane such that $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = -16$.
Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB = 6$, $AC = 4$ y $BC = 8$. Sea $I$ el punto medio del segmento $[BC]$.
1. Usando la igualdad $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\|^2$, se puede demostrar que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$. Calcula este valor.
2. Según la propiedad 2 del curso aplicada a los puntos $B$ y $C$, expresa $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en función de $AI$ y $BC$.
3. Usa las preguntas anteriores para encontrar el valor de $AI^2$.
4. Deduce la longitud exacta de la mediana $AI$.
5. Determina el conjunto de los puntos $M$ del plano tales que $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = -16$.
Corrigé :Solution:Solución:
On applique la formule donnée : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(6^2 + 4^2 - 8^2) = \dfrac{1}{2}(36 + 16 - 64) = \dfrac{1}{2}(-12) =$ $-6$.
En remplaçant le point $M$ par le point $A$ dans la formule de la médiane pour le segment $[BC]$ de milieu $I$, on obtient : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =$ $AI^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.
On identifie les deux expressions calculées : $-6 = AI^2 - \dfrac{8^2}{4} \iff -6 = AI^2 - 16 \iff AI^2 = 16 - 6 =$ $10$.
La distance $AI$ est positive, donc $AI =$ $\sqrt{10}$.
La formule de la médiane avec les points $B$ et $C$ s'écrit : $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MI^2 - \dfrac{BC^2}{4} = MI^2 - 16$.
L'équation devient : $MI^2 - 16 = -16 \iff MI^2 = 0 \iff MI = 0$. Le seul point solution est $I$. L'ensemble est donc le point $I$.
We apply the given formula: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(6^2 + 4^2 - 8^2) = \dfrac{1}{2}(36 + 16 - 64) = \dfrac{1}{2}(-12) =$ $-6$.
By replacing the point $M$ by the point $A$ in the median formula for the segment $[BC]$ with midpoint $I$, we obtain: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =$ $AI^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.
We identify the two calculated expressions: $-6 = AI^2 - \dfrac{8^2}{4} \iff -6 = AI^2 - 16 \iff AI^2 = 16 - 6 =$ $10$.
The distance $AI$ is positive, thus $AI =$ $\sqrt{10}$.
The median formula with points $B$ and $C$ is written: $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MI^2 - \dfrac{BC^2}{4} = MI^2 - 16$.
The equation becomes: $MI^2 - 16 = -16 \iff MI^2 = 0 \iff MI = 0$. The only solution is the point $I$. The set is therefore the point $I$.
Sustituyendo el punto $M$ por el punto $A$ en la fórmula de la mediana para el segmento $[BC]$ de punto medio $I$, obtenemos: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =$ $AI^2 - \dfrac{BC^2}{4}$.
La distancia $AI$ es positiva, así $AI =$ $\sqrt{10}$.
La fórmula de la mediana con los puntos $B$ y $C$ se escribe: $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MI^2 - \dfrac{BC^2}{4} = MI^2 - 16$.
La ecuación se convierte en: $MI^2 - 16 = -16 \iff MI^2 = 0 \iff MI = 0$. La única solución es el punto $I$. El conjunto es por tanto el punto $I$.
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