GÉOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE
I - Formule d'Al-Kashi
Propriété 1 : Soit $ABC$ un triangle, on pose : $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$.
$\begin{aligned}a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}\\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B}\\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat{C}\end{aligned}$
Démonstration : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$ d'où $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\|^2$
$= \|\overrightarrow{BA}\|^2 + 2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AC}\|^2$
Or $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
$= -\|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\| \times \cos \widehat{BAC} = -c \times b \times \cos \widehat{A}$
Donc $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA}\|^2 + 2 \times \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AC}\|^2$
$\iff a^2 = c^2 - 2 \times c \times b \times \cos \widehat{A} + b^2$
soit $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$
II - Formule de la médiane
Propriété 2 : Soit $A$ et $B$ deux points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout point $M$,
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$
Démonstration :
$\begin{aligned}\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= \overrightarrow{MI}^2 + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} \\ &= MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\underbrace{\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}}_{\overrightarrow{0}}) - IA \times IB \\ &= MI^2 - \frac{AB}{2} \times \frac{AB}{2} \\ &= MI^2 - \frac{AB^2}{4}\end{aligned}$
Propriété 3 : L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Démonstration :
D'après la propriété 2, si $I$ est le milieu de $[AB]$,
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = 0 \iff IM^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$
$\iff IM = \dfrac{AB}{2} \quad \text{(car } IM \ge 0 \text{ et } AB \ge 0 \text{).}$
Ce qui signifie que $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$.
Donc $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff M \in \mathcal{C}\left(I, \dfrac{AB}{2}\right)$.
GEOMETRY IN THE TRIANGLE
I - Law of Cosines
Property 1: Let $ABC$ be a triangle, we define: $a = BC$, $b = AC$ and $c = AB$.
$\begin{aligned}a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}\\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B}\\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat{C}\end{aligned}$
Proof: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$ hence $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\|^2$
$= \|\overrightarrow{BA}\|^2 + 2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AC}\|^2$
Now $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
$= -\|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\| \times \cos \widehat{BAC} = -c \times b \times \cos \widehat{A}$
Therefore $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA}\|^2 + 2 \times \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AC}\|^2$
$\iff a^2 = c^2 - 2 \times c \times b \times \cos \widehat{A} + b^2$
that is, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$
II - Apollonius's Theorem (Median formula)
Property 2: Let $A$ and $B$ be two points in the plane and $I$ the midpoint of $[AB]$. For any point $M$,
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$
Proof:
$\begin{aligned}\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= \overrightarrow{MI}^2 + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} \\ &= MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\underbrace{\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}}_{\overrightarrow{0}}) - IA \times IB \\ &= MI^2 - \frac{AB}{2} \times \frac{AB}{2} \\ &= MI^2 - \frac{AB^2}{4}\end{aligned}$
Property 3: The set of points $M$ in the plane such that $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ is the circle with diameter $[AB]$.
Proof:
According to property 2, if $I$ is the midpoint of $[AB]$,
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = 0 \iff IM^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$
$\iff IM = \dfrac{AB}{2} \quad \text{(since } IM \ge 0 \text{ and } AB \ge 0 \text{).}$
Which means that $M$ belongs to the circle with center $I$ and radius $\dfrac{AB}{2}$.
Therefore $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff M \in \mathcal{C}\left(I, \dfrac{AB}{2}\right)$.
GEOMETRÍA EN EL TRIÁNGULO
I - Teorema del coseno
Propiedad 1: Sea $ABC$ un triángulo, definimos: $a = BC$, $b = AC$ y $c = AB$.
$\begin{aligned}a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}\\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B}\\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat{C}\end{aligned}$
Demostración: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$ de donde $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\|^2$
$= \|\overrightarrow{BA}\|^2 + 2\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AC}\|^2$
Ahora bien, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
$= -\|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\| \times \cos \widehat{BAC} = -c \times b \times \cos \widehat{A}$
Por lo tanto, $\|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{BA}\|^2 + 2 \times \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AC}\|^2$
$\iff a^2 = c^2 - 2 \times c \times b \times \cos \widehat{A} + b^2$
es decir, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$
II - Teorema de Apolonio (Fórmula de la mediana)
Propiedad 2: Sean $A$ y $B$ dos puntos en el plano e $I$ el punto medio de $[AB]$. Para cualquier punto $M$,
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$
Demostración:
$\begin{aligned}\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= \overrightarrow{MI}^2 + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} \\ &= MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\underbrace{\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}}_{\overrightarrow{0}}) - IA \times IB \\ &= MI^2 - \frac{AB}{2} \times \frac{AB}{2} \\ &= MI^2 - \frac{AB^2}{4}\end{aligned}$
Propiedad 3: El conjunto de los puntos $M$ del plano tales que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ es la circunferencia de diámetro $[AB]$.
Demostración:
Según la propiedad 2, si $I$ es el punto medio de $[AB]$,
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = 0 \iff IM^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$
$\iff IM = \dfrac{AB}{2} \quad \text{(ya que } IM \ge 0 \text{ y } AB \ge 0 \text{).}$
Lo que significa que $M$ pertenece a la circunferencia de centro $I$ y radio $\dfrac{AB}{2}$.
Por lo tanto, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff M \in \mathcal{C}\left(I, \dfrac{AB}{2}\right)$.