Exercice 1 : Calcul avec l'angle Exercise 1: Calculation with angle Ejercicio 1: Cálculo con el ángulo

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ dans les 5 cas suivants :

1. $\|\overrightarrow{u}\| = 4$, $\|\overrightarrow{v}\| = 5$ et l'angle est de $60^\circ$.
2. $\|\overrightarrow{u}\| = 3$, $\|\overrightarrow{v}\| = 2$ et l'angle est de $135^\circ$.
3. $\|\overrightarrow{u}\| = 6$, $\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{2}$ et l'angle est de $45^\circ$.
4. $\|\overrightarrow{u}\| = 7$, $\|\overrightarrow{v}\| = 3$ et l'angle est de $90^\circ$.
5. $\|\overrightarrow{u}\| = 5$, $\|\overrightarrow{v}\| = 5$ et l'angle est de $180^\circ$.

Corrigé : Solution: Solución:

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4 \times 5 \times \cos(60^\circ) = 20 \times \frac{1}{2} =$ $10$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \times 2 \times \cos(135^\circ) = 6 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =$ $-3\sqrt{2}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 \times \sqrt{2} \times \cos(45^\circ) = 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} =$ $6$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 7 \times 3 \times \cos(90^\circ) = 21 \times 0 =$ $0$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 5 \times 5 \times \cos(180^\circ) = 25 \times (-1) =$ $-25$.

Exercice 2 : Calcul par projection orthogonale Exercise 2: Calculation by orthogonal projection Ejercicio 2: Cálculo por proyección ortogonal

Soit $ABCD$ un carré de côté $3$. Soit $I$ le milieu du segment $[DC]$. Calculer les 5 produits scalaires suivants en utilisant la projection orthogonale :

1. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$
3. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$
4. $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB}$
5. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI}$

Corrigé : Solution: Solución:

Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$. Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 3^2 =$ $9$.
Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =$ $0$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires et de sens contraires. Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = - 3 \times 3 =$ $-9$.
Comme $ABCD$ est un carré, $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AD}$. Donc $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} \cdot (-\overrightarrow{AD}) = - AD^2 =$ $-9$.
Soit $J$ le projeté orthogonal de $I$ sur $(AB)$. $J$ est le milieu de $[AB]$. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}$ sont de même sens, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AJ} = 3 \times 1,5 =$ $4,5$.

Exercice 3 : Produit scalaire dans un repère Exercise 3: Dot product in a coordinate system Ejercicio 3: Producto escalar en un sistema de coordenadas

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{4}{-3}$, $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{2}{5}$ et $\overrightarrow{w}\displaystyle\binom{-1}{2}$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$.
3. Calculer les normes $\|\overrightarrow{u}\|$ et $\|\overrightarrow{v}\|$.
4. Calculer le produit scalaire $(2\overrightarrow{u}) \cdot (3\overrightarrow{w})$.
5. Déterminer le réel $k$ tel que le vecteur $\overrightarrow{z}\displaystyle\binom{k}{4}$ soit orthogonal à $\overrightarrow{u}$.

Corrigé : Solution: Solución:

Formule analytique : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4 \times 2 + (-3) \times 5 = 8 - 15 =$ $-7$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 4 \times (-1) + (-3) \times 2 = -4 - 6 =$ $-10$.
Formule de la norme : $\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} =$ $5$.
$\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} =$ $\sqrt{29}$.
Par bilinéarité : $(2\overrightarrow{u}) \cdot (3\overrightarrow{w}) = 6(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}) = 6 \times (-10) =$ $-60$.
Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{z} = 0$.
$4 \times k + (-3) \times 4 = 0 \iff 4k - 12 = 0 \iff 4k = 12 \iff k = \frac{12}{4} =$ $3$.

Exercice 4 : Orthogonalité et droites Exercise 4: Orthogonality and lines Ejercicio 4: Ortogonalidad y rectas

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1; 2)$, $B(3; -1)$, $C(-2; 4)$ et $D(4; 8)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
2. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
3. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
4. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$.
5. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Corrigé : Solution: Solución:

$\overrightarrow{AB}\displaystyle\binom{3 - 1}{-1 - 2} =$ $\displaystyle\binom{2}{-3}$ et $\overrightarrow{CD}\displaystyle\binom{4 - (-2)}{8 - 4} =$ $\displaystyle\binom{6}{4}$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \times 6 + (-3) \times 4 = 12 - 12 = 0$. Puisque le produit scalaire est nul, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
$\overrightarrow{AC}\displaystyle\binom{-2 - 1}{4 - 2} =$ $\displaystyle\binom{-3}{2}$ et $\overrightarrow{BD}\displaystyle\binom{4 - 3}{8 - (-1)} =$ $\displaystyle\binom{1}{9}$.
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (-3) \times 1 + 2 \times 9 = -3 + 18 =$ $15$.
Le produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ n'est pas nul ($15 \neq 0$). On en déduit que les droites $(AC)$ et $(BD)$ ne sont pas perpendiculaires.

Exercice 5 : Propriétés algébriques Exercise 5: Algebraic properties Ejercicio 5: Propiedades algebraicas

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs tels que $\|\overrightarrow{u}\| = 3$, $\|\overrightarrow{v}\| = 2$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -1$.

Calculer les valeurs des 5 expressions suivantes :

1. $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2$
2. $(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2$
3. $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$
4. $(2\overrightarrow{u}) \cdot (\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v})$
5. $\|2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}\|^2$

Corrigé : Solution: Solución:

En développant : $\|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 = 3^2 + 2 \times (-1) + 2^2 = 9 - 2 + 4 =$ $11$.
En développant : $\|\overrightarrow{u}\|^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2 = 3^2 - 2 \times (-1) + 2^2 = 9 + 2 + 4 =$ $15$.
À l'aide des identités remarquables : $\|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 =$ $5$.
Par bilinéarité : $2\|\overrightarrow{u}\|^2 - 6(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 2 \times 9 - 6 \times (-1) = 18 + 6 =$ $24$.
$\|2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}\|^2 = (2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v})^2 = 4\|\overrightarrow{u}\|^2 + 12\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + 9\|\overrightarrow{v}\|^2$
$= 4(9) + 12(-1) + 9(4) = 36 - 12 + 36 =$ $60$.

PRODUIT SCALAIRE DOT PRODUCT PRODUCTO ESCALAR

Exercice 1 : Calcul avec l'angle Exercise 1: Calculation with angle Ejercicio 1: Cálculo con el ángulo

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 2 : Calcul par projection orthogonale Exercise 2: Calculation by orthogonal projection Ejercicio 2: Cálculo por proyección ortogonal

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 3 : Produit scalaire dans un repère Exercise 3: Dot product in a coordinate system Ejercicio 3: Producto escalar en un sistema de coordenadas

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 4 : Orthogonalité et droites Exercise 4: Orthogonality and lines Ejercicio 4: Ortogonalidad y rectas

Corrigé : Solution: Solución:

Exercice 5 : Propriétés algébriques Exercise 5: Algebraic properties Ejercicio 5: Propiedades algebraicas

Corrigé : Solution: Solución:

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