NORME ET PRODUIT SCALAIRE
Définition 1 :
Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan, et $A$, $B$ deux points du plan tels que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$.
On appelle norme du vecteur $\overrightarrow{u}$, notée $\|\overrightarrow{u}\|$, le nombre tel que : $\|\overrightarrow{u}\| = AB $.
Propriété 1 :
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan, et $k$ un réel :
- $\|k\overrightarrow{AB}\| = |k| \times \|\overrightarrow{AB}\|$
- $\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\| \leq \|\overrightarrow{AB}\| + \|\overrightarrow{AC}\| \quad \text{(inégalité triangulaire)}$
- $\|\overrightarrow{AB}\| = 0 \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \iff A = B$
Définition 2 :
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan. On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ le réel noté $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ tel que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\| \times \cos\widehat{BAC}$
Par convention, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$.
Vocabulaire : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ se lit $\overrightarrow{AB}$ scalaire $\overrightarrow{AC}$.
Remarque : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Il existe trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$. On peut donc définir le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
Propriété 2 :
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan :
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2$
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
Cette propriété se déduit immédiatement des propriétés du cosinus d'un angle.
Vocabulaire : $\|\overrightarrow{u}\|^2$ est appelé le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$.
Définition 3 :
On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux lorsque $(AB) \perp (CD)$.
Par convention, $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tout vecteur du plan.
Propriété 3 :
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan :
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \iff (AB) \perp (AC)\)
Démonstration :
- $\bullet$ Si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} = 0$, or $A$, $B$ et $C$ distincts donc $AB \neq 0$ et $AC \neq 0$.
- Donc $\cos\widehat{BAC} = 0$, donc $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{2}$ ou $\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{2}$,
- donc $(AB) \perp (AC)$.
- $\bullet$ Si $(AB) \perp (AC)$ alors $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{2}$ ou $\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{2}$, donc $\cos\widehat{BAC} = 0$,
- donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
Définition 4 :
Soit $(d)$ une droite du plan et $M$ un point n'appartenant pas à $(d)$. On appelle projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur $(d)$ le point d'intersection de $(d)$ avec la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$.
Propriété 4 :
Soit $A$, $B$ et $M$ trois points du plan, $A$ et $B$ distincts.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$ alors :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$$
Démonstration :
Cas particulier : Si $(AM) \perp (AB)$ alors $H = A$.
$\cos\widehat{BAM} = 0$ $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
Sinon ($A$ et $H$ sont distincts) :
1er cas : $H \in [AB)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\widehat{BAM} = AB \times AM \times \cos\widehat{HAM}$
or $\cos\widehat{HAM} = \dfrac{AH}{AM}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \dfrac{AH}{AM} = AB \times AH$
et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos\widehat{BAH}$
= $AB \times AH \times \cos 0 = AB \times AH$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
2ème cas : $H \notin [AB)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\widehat{BAM}$
= $AB \times AM \times \cos\left(\pi - \widehat{HAM}\right)$
= $-AB \times AM \times \cos\widehat{HAM}$
= $-AB \times AM \times \dfrac{AH}{AM} = -AB \times AH$
et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos\widehat{BAH}$
= $AB \times AH \times \cos\pi = -AB \times AH$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
Propriété 5 :
Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs du plan, et $k$ un réel :
- $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$
- $\overrightarrow{u} \cdot (k\overrightarrow{v}) = (k\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k \times (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$
- $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2$
- $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2$
Propriété admise.
Propriété 6 :
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan rapporté à un repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, avec $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{x_{\overrightarrow{u}}}{y_{\overrightarrow{u}}}$ et $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{x_{\overrightarrow{v}}}{y_{\overrightarrow{v}}}$ :
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_{\overrightarrow{u}} \times x_{\overrightarrow{v}} + y_{\overrightarrow{u}} \times y_{\overrightarrow{v}}$$
Démonstration :
Soit $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{x}{y}$ et $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{x'}{y'}$ deux vecteurs du plan rapporté à un repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
$$\begin{aligned}\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= (x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}) \cdot (x'\overrightarrow{i} + y'\overrightarrow{j}) \\ &= xx'\|\overrightarrow{i}\|^2 + x'y\,\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} + xy'\,\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + yy'\|\overrightarrow{j}\|^2\end{aligned}$$
Or $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont orthogonaux donc $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} = 0$ et $\|\overrightarrow{i}\| = \|\overrightarrow{j}\| = 1$.
Donc $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'$.
Propriété 7 :
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan :
$$\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2$$
Démonstration :
$$\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^2 = \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right)^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2$$
NORM AND DOT PRODUCT
Definition 1 :
Let $\overrightarrow{u}$ be a vector in the plane, and $A$, $B$ two points in the plane such that $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$.
The norm of the vector $\overrightarrow{u}$, denoted $\|\overrightarrow{u}\|$, is the number such that: $\|\overrightarrow{u}\| = AB $.
Property 1 :
Let $A$, $B$ and $C$ be three points in the plane, and $k$ a real number:
- $\|k\overrightarrow{AB}\| = |k| \times \|\overrightarrow{AB}\|$
- $\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\| \leq \|\overrightarrow{AB}\| + \|\overrightarrow{AC}\| \quad \text{(triangle inequality)}$
- $\|\overrightarrow{AB}\| = 0 \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \iff A = B$
Definition 2 :
Let $A$, $B$ and $C$ be three distinct points in the plane. The dot product of $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$ is the real number denoted $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ such that:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\| \times \cos\widehat{BAC}$
By convention, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$.
Vocabulary : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ is read $\overrightarrow{AB}$ dot $\overrightarrow{AC}$.
Remark : Let $\overrightarrow{u}$ and $\overrightarrow{v}$ be two vectors in the plane. There exist three points $A$, $B$ and $C$ such that $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$. We can therefore define the dot product $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
Property 2 :
Let $\overrightarrow{u}$ and $\overrightarrow{v}$ be two vectors in the plane:
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2$
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
This property is deduced immediately from the properties of the cosine of an angle.
Vocabulary : $\|\overrightarrow{u}\|^2$ is called the scalar square of $\overrightarrow{u}$.
Definition 3 :
Two vectors $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CD}$ are said to be orthogonal when $(AB) \perp (CD)$.
By convention, $\overrightarrow{0}$ is orthogonal to any vector in the plane.
Property 3 :
Let $A$, $B$ and $C$ be three distinct points in the plane:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \iff (AB) \perp (AC)\)
Proof :
- $\bullet$ If $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ then $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} = 0$, but $A$, $B$ and $C$ are distinct so $AB \neq 0$ and $AC \neq 0$.
- Therefore $\cos\widehat{BAC} = 0$, so $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{2}$ or $\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{2}$,
- hence $(AB) \perp (AC)$.
- $\bullet$ If $(AB) \perp (AC)$ then $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{2}$ or $\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{2}$, so $\cos\widehat{BAC} = 0$,
- hence $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
Definition 4 :
Let $(d)$ be a line in the plane and $M$ a point not belonging to $(d)$. The orthogonal projection $H$ of point $M$ onto $(d)$ is defined as the intersection point of $(d)$ with the perpendicular to $(d)$ passing through $M$.
Property 4 :
Let $A$, $B$ and $M$ be three points in the plane, $A$ and $B$ distinct.
If $H$ is the orthogonal projection of $M$ onto line $(AB)$ then:
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$$
Proof :
Special case : If $(AM) \perp (AB)$ then $H = A$.
$\cos\widehat{BAM} = 0$ $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ and $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
Otherwise ($A$ and $H$ are distinct) :
1st case : $H \in [AB)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\widehat{BAM} = AB \times AM \times \cos\widehat{HAM}$
but $\cos\widehat{HAM} = \dfrac{AH}{AM}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \dfrac{AH}{AM} = AB \times AH$
and $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos\widehat{BAH}$
= $AB \times AH \times \cos 0 = AB \times AH$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
2nd case : $H \notin [AB)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\widehat{BAM}$
= $AB \times AM \times \cos\left(\pi - \widehat{HAM}\right)$
= $-AB \times AM \times \cos\widehat{HAM}$
= $-AB \times AM \times \dfrac{AH}{AM} = -AB \times AH$
and $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos\widehat{BAH}$
= $AB \times AH \times \cos\pi = -AB \times AH$
hence $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
Property 5 :
Let $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ and $\overrightarrow{w}$ be three vectors in the plane, and $k$ a real number:
- $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$
- $\overrightarrow{u} \cdot (k\overrightarrow{v}) = (k\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k \times (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$
- $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2$
- $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2$
Property accepted without proof.
Property 6 :
In an orthonormal coordinate system $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, with $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{x_{\overrightarrow{u}}}{y_{\overrightarrow{u}}}$ and $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{x_{\overrightarrow{v}}}{y_{\overrightarrow{v}}}$ :
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_{\overrightarrow{u}} \times x_{\overrightarrow{v}} + y_{\overrightarrow{u}} \times y_{\overrightarrow{v}}$$
Proof :
Let $\overrightarrow{u}\displaystyle\binom{x}{y}$ and $\overrightarrow{v}\displaystyle\binom{x'}{y'}$ be two vectors in the plane referred to an orthonormal coordinate system $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
$$\begin{aligned}\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} &= (x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}) \cdot (x'\overrightarrow{i} + y'\overrightarrow{j}) \\ &= xx'\|\overrightarrow{i}\|^2 + x'y\,\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} + xy'\,\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} + yy'\|\overrightarrow{j}\|^2\end{aligned}$$
But $\overrightarrow{i}$ and $\overrightarrow{j}$ are orthogonal therefore $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i} = 0$ and $\|\overrightarrow{i}\| = \|\overrightarrow{j}\| = 1$.
Hence $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'$.
Property 7 :
Let $\overrightarrow{u}$ and $\overrightarrow{v}$ be two vectors in the plane :
$$\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2$$
Proof :
$$\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^2 = \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right)^2 = \|\overrightarrow{u}\|^2 + 2\,\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \|\overrightarrow{v}\|^2$$
NORMA Y PRODUCTO ESCALAR
Definición 1 :
Sea $\overrightarrow{u}$ un vector del plano, y $A$, $B$ dos puntos del plano tales que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$.
Se llama norma del vector $\overrightarrow{u}$, denotada $\|\overrightarrow{u}\|$, al número tal que : $\|\overrightarrow{u}\| = AB $.
Propiedad 1 :
Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos del plano, y $k$ un número real :
- $\|k\overrightarrow{AB}\| = |k| \times \|\overrightarrow{AB}\|$
- $\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\| \leq \|\overrightarrow{AB}\| + \|\overrightarrow{AC}\| \quad \text{(desigualdad triangular)}$
- $\|\overrightarrow{AB}\| = 0 \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \iff A = B$
Definición 2 :
Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos distintos del plano. Se llama producto escalar de $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ al número real denotado $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ tal que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\| \times \cos\widehat{BAC}$
Por convención, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$.
Vocabulario : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ se lee $\overrightarrow{AB}$ escalar $\overrightarrow{AC}$.
Observación : Sean $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ dos vectores del plano. Existen tres puntos $A$, $B$ et $C$ tales que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$. Por tanto, se puede definir el producto escalar $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$.
Propiedad 2 :
Sean $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ dos vectores del plano :
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2$
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
Esta propiedad se deduce inmediatamente de las propiedades del coseno de un ángulo.
Vocabulario : $\|\overrightarrow{u}\|^2$ se denomina el cuadrado escalar de $\overrightarrow{u}$.
Definición 3 :
Se dice que dos vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ son ortogonales cuando $(AB) \perp (CD)$.
Por convención, $\overrightarrow{0}$ es ortogonal a cualquier vector del plano.
Propiedad 3 :
Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos distintos del plano :
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \iff (AB) \perp (AC)\)
Demostración :
- $\bullet$ Si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ entonces $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} = 0$, pero $A$, $B$ et $C$ son distintos luego $AB \neq 0$ et $AC \neq 0$.
- Por tanto $\cos\widehat{BAC} = 0$, luego $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{2}$ o $\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{2}$,
- de modo que $(AB) \perp (AC)$.
- $\bullet$ Si $(AB) \perp (AC)$ entonces $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{2}$ o $\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{2}$, luego $\cos\widehat{BAC} = 0$,
- de modo que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
Definición 4 :
Sea $(d)$ una recta del plano y $M$ un punto que no pertenece a $(d)$. Se llama proyección ortogonal $H$ del punto $M$ sobre $(d)$ al punto de intersección de $(d)$ con la perpendicular a $(d)$ que pasa por $M$.
Propiedad 4 :
Sean $A$, $B$ y $M$ tres puntos del plano, $A$ y $B$ distintos.
Si $H$ es la proyección ortogonal de $M$ sobre la recta $(AB)$ entonces :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$$
Demostración :
Caso particular : Si $(AM) \perp (AB)$ entonces $H = A$.
$\cos\widehat{BAM} = 0$ $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ y $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
En caso contrario ($A$ et $H$ sont distincts) :
1er caso : $H \in [AB)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\widehat{BAM} = AB \times AM \times \cos\widehat{HAM}$
pero $\cos\widehat{HAM} = \dfrac{AH}{AM}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \dfrac{AH}{AM} = AB \times AH$
y $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos\widehat{BAH}$
= $AB \times AH \times \cos 0 = AB \times AH$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
2º caso : $H \notin [AB)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = AB \times AM \times \cos\widehat{BAM}$
= $AB \times AM \times \cos\left(\pi - \widehat{HAM}\right)$
= $-AB \times AM \times \cos\widehat{HAM}$
= $-AB \times AM \times \dfrac{AH}{AM} = -AB \times AH$
y $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = AB \times AH \times \cos\widehat{BAH}$
= $AB \times AH \times \cos\pi = -AB \times AH$
luego $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.