Équations différentielles

I - Généralités

Définition 1 : On appelle équation différentielle du premier ordre une relation entre une fonction $y$, dérivable sur un intervalle $I$, et sa dérivée $y'$ sur $I$. Une solution est une fonction $f$ dérivable sur $I$ qui vérifie cette relation pour tout $x \in I$.

Exemple

La fonction $f(x) = 3e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 6e^{2x} = 2f(x)$.

Une primitive $F$ d'une fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $y' = g$.

II - Équation homogène $y' + ay = 0$

Propriété 1 : Les fonctions solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' + a\,y = 0$ ($a \in \mathbb{R}$) sont les fonctions $x \mapsto A\,e^{-ax}$, avec $A \in \mathbb{R}$.

Démonstration

• Les fonctions $x \mapsto A\,e^{-ax}$ sont solutions : $f(x) = A\,e^{-ax}$ est dérivable et $f'(x) = -aA\,e^{-ax}$, donc $f'(x) + a\,f(x) = -aA\,e^{-ax} + aA\,e^{-ax} = 0$.

• Ce sont les seules : soit $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g(x) = u(x)\,e^{ax}$. Alors $g'(x) = e^{ax}\left[u'(x) + a\,u(x)\right]$ et, comme $e^{ax} > 0$ :

$$u' + au = 0 \iff g' = 0 \iff g(x) = A \ (A \in \mathbb{R}) \iff u(x) = A\,e^{-ax}$$

Exemple

Résoudre $y' - 3y = 0$ : c'est la forme $y' + ay = 0$ avec $a = -3$, donc les solutions sont les fonctions $f(x) = A\,e^{3x}$ ($A \in \mathbb{R}$).

Remarque : l'équation $y' = ky$ s'écrit $y' - ky = 0$ : ses solutions sont les fonctions $x \mapsto A\,e^{kx}$.

Propriété 2 : L'équation $y' + a\,y = 0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(x_0) = y_0$ ($x_0, y_0 \in \mathbb{R}$) : c'est la fonction $f : x \mapsto y_0\,e^{-a(x - x_0)}$.

Exemple

Résoudre $y' - 3y = 0$ sachant que $y(0) = 1$. Les solutions sont $f(x) = A\,e^{3x}$ et $f(0) = A = 1$, donc $f(x) = e^{3x}$.

Courbes de quelques solutions de $y' + 0{,}6\,y = 0$ : une seule passe par un point donné.

III - Équation $y' + ay = b$

Propriété 3 : Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a \neq 0$. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' + a\,y = b$ sont les fonctions définies par :$$y(x) = K\,e^{-ax} + \dfrac{b}{a}, \quad K \in \mathbb{R}$$

Remarque : la fonction constante $x \mapsto \dfrac{b}{a}$ est une solution particulière ; on lui ajoute les solutions de l'équation homogène $y' + ay = 0$.

Exemple

Résoudre $3y' + 2y = 1$. On divise par $3$ : $y' + \dfrac{2}{3}y = \dfrac{1}{3}$, avec $a = \dfrac{2}{3}$ et $b = \dfrac{1}{3}$. Donc $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$ et les solutions sont $f(x) = K\,e^{-\frac{2}{3}x} + \dfrac{1}{2}$ ($K \in \mathbb{R}$).

Méthode : solution vérifiant une condition initiale

Déterminer la solution de $y' = -2y + 6$ telle que $y(0) = 1$.

1) $y' = -2y + 6 \iff y' + 2y = 6$ : $a = 2$, $b = 6$, $\dfrac{b}{a} = 3$.

2) Les solutions sont $f(x) = K\,e^{-2x} + 3$.

3) $f(0) = K + 3 = 1$ donc $K = -2$ : $f(x) = -2e^{-2x} + 3$.

Comme $a = 2 > 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ : toutes les solutions se rapprochent de la solution constante.

Application : loi de refroidissement

Un objet à $80$ °C est placé dans une pièce à $20$ °C. Sa température $\theta(t)$ (en °C, $t$ en minutes) vérifie $\theta' = -0{,}05(\theta - 20)$, soit $\theta' + 0{,}05\,\theta = 1$.

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20$, donc $\theta(t) = K\,e^{-0{,}05t} + 20$ ; $\theta(0) = 80$ donne $K = 60$ : $\theta(t) = 60\,e^{-0{,}05t} + 20$.

Differential equations

I - Generalities

Definition 1 : A first-order differential equation is a relation between a function $y$, differentiable on an interval $I$, and its derivative $y'$ on $I$. A solution is a function $f$ differentiable on $I$ satisfying this relation for all $x \in I$.

Example

The function $f(x) = 3e^{2x}$ is a solution of $y' = 2y$ on $\mathbb{R}$: $f'(x) = 6e^{2x} = 2f(x)$.

An antiderivative $F$ of a function $g$ is a solution of the differential equation $y' = g$.

II - Homogeneous equation $y' + ay = 0$

Property 1 : The solutions on $\mathbb{R}$ of the differential equation $y' + a\,y = 0$ ($a \in \mathbb{R}$) are the functions $x \mapsto A\,e^{-ax}$, with $A \in \mathbb{R}$.

Proof

• The functions $x \mapsto A\,e^{-ax}$ are solutions: $f(x) = A\,e^{-ax}$ is differentiable and $f'(x) = -aA\,e^{-ax}$, so $f'(x) + a\,f(x) = -aA\,e^{-ax} + aA\,e^{-ax} = 0$.

• They are the only ones: let $u$ be differentiable on $\mathbb{R}$ and $g(x) = u(x)\,e^{ax}$. Then $g'(x) = e^{ax}\left[u'(x) + a\,u(x)\right]$ and, since $e^{ax} > 0$:

$$u' + au = 0 \iff g' = 0 \iff g(x) = A \ (A \in \mathbb{R}) \iff u(x) = A\,e^{-ax}$$

Example

Solve $y' - 3y = 0$: it is $y' + ay = 0$ with $a = -3$, so the solutions are $f(x) = A\,e^{3x}$ ($A \in \mathbb{R}$).

Remark : the equation $y' = ky$ can be written $y' - ky = 0$: its solutions are the functions $x \mapsto A\,e^{kx}$.

Property 2 : The equation $y' + a\,y = 0$ has a unique solution $f$ on $\mathbb{R}$ satisfying the initial condition $f(x_0) = y_0$ ($x_0, y_0 \in \mathbb{R}$): it is $f : x \mapsto y_0\,e^{-a(x - x_0)}$.

Example

Solve $y' - 3y = 0$ with $y(0) = 1$. The solutions are $f(x) = A\,e^{3x}$ and $f(0) = A = 1$, so $f(x) = e^{3x}$.

Curves of some solutions of $y' + 0.6\,y = 0$: exactly one goes through a given point.

III - Equation $y' + ay = b$

Property 3 : Let $a$ and $b$ be two reals, with $a \neq 0$. The solutions on $\mathbb{R}$ of the differential equation $y' + a\,y = b$ are the functions defined by:$$y(x) = K\,e^{-ax} + \dfrac{b}{a}, \quad K \in \mathbb{R}$$

Remark : the constant function $x \mapsto \dfrac{b}{a}$ is a particular solution; we add the solutions of the homogeneous equation $y' + ay = 0$.

Example

Solve $3y' + 2y = 1$. Divide by $3$: $y' + \dfrac{2}{3}y = \dfrac{1}{3}$, with $a = \dfrac{2}{3}$ and $b = \dfrac{1}{3}$. So $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$ and the solutions are $f(x) = K\,e^{-\frac{2}{3}x} + \dfrac{1}{2}$ ($K \in \mathbb{R}$).

Method: solution with an initial condition

Find the solution of $y' = -2y + 6$ such that $y(0) = 1$.

1) $y' = -2y + 6 \iff y' + 2y = 6$: $a = 2$, $b = 6$, $\dfrac{b}{a} = 3$.

2) The solutions are $f(x) = K\,e^{-2x} + 3$.

3) $f(0) = K + 3 = 1$ so $K = -2$: $f(x) = -2e^{-2x} + 3$.

Since $a = 2 > 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0$ and $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$: all solutions get closer to the constant solution.

Application: cooling law

An object at $80$ °C is placed in a room at $20$ °C. Its temperature $\theta(t)$ (in °C, $t$ in minutes) satisfies $\theta' = -0.05(\theta - 20)$, i.e. $\theta' + 0.05\,\theta = 1$.

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{0.05} = 20$, so $\theta(t) = K\,e^{-0.05t} + 20$; $\theta(0) = 80$ gives $K = 60$: $\theta(t) = 60\,e^{-0.05t} + 20$.

Ecuaciones diferenciales

I - Generalidades

Definición 1 : Se llama ecuación diferencial de primer orden a una relación entre una función $y$, derivable en un intervalo $I$, y su derivada $y'$ en $I$. Una solución es una función $f$ derivable en $I$ que verifica esa relación para todo $x \in I$.

Ejemplo

La función $f(x) = 3e^{2x}$ es solución de $y' = 2y$ en $\mathbb{R}$: $f'(x) = 6e^{2x} = 2f(x)$.

Una primitiva $F$ de una función $g$ es una solución de la ecuación diferencial $y' = g$.

II - Ecuación homogénea $y' + ay = 0$

Propiedad 1 : Las soluciones en $\mathbb{R}$ de la ecuación diferencial $y' + a\,y = 0$ ($a \in \mathbb{R}$) son las funciones $x \mapsto A\,e^{-ax}$, con $A \in \mathbb{R}$.

Demostración

• Las funciones $x \mapsto A\,e^{-ax}$ son soluciones: $f(x) = A\,e^{-ax}$ es derivable y $f'(x) = -aA\,e^{-ax}$, luego $f'(x) + a\,f(x) = -aA\,e^{-ax} + aA\,e^{-ax} = 0$.

• Son las únicas: sea $u$ derivable en $\mathbb{R}$ y $g(x) = u(x)\,e^{ax}$. Entonces $g'(x) = e^{ax}\left[u'(x) + a\,u(x)\right]$ y, como $e^{ax} > 0$:

$$u' + au = 0 \iff g' = 0 \iff g(x) = A \ (A \in \mathbb{R}) \iff u(x) = A\,e^{-ax}$$

Ejemplo

Resolver $y' - 3y = 0$: es la forma $y' + ay = 0$ con $a = -3$, luego las soluciones son $f(x) = A\,e^{3x}$ ($A \in \mathbb{R}$).

Observación : la ecuación $y' = ky$ se escribe $y' - ky = 0$: sus soluciones son las funciones $x \mapsto A\,e^{kx}$.

Propiedad 2 : La ecuación $y' + a\,y = 0$ admite en $\mathbb{R}$ una única solución $f$ que verifica la condición inicial $f(x_0) = y_0$ ($x_0, y_0 \in \mathbb{R}$): es $f : x \mapsto y_0\,e^{-a(x - x_0)}$.

Ejemplo

Resolver $y' - 3y = 0$ sabiendo que $y(0) = 1$. Las soluciones son $f(x) = A\,e^{3x}$ y $f(0) = A = 1$, luego $f(x) = e^{3x}$.

Curvas de algunas soluciones de $y' + 0{,}6\,y = 0$: una sola pasa por un punto dado.

III - Ecuación $y' + ay = b$

Propiedad 3 : Sean $a$ y $b$ dos reales, con $a \neq 0$. Las soluciones en $\mathbb{R}$ de la ecuación diferencial $y' + a\,y = b$ son las funciones definidas por:$$y(x) = K\,e^{-ax} + \dfrac{b}{a}, \quad K \in \mathbb{R}$$

Observación : la función constante $x \mapsto \dfrac{b}{a}$ es una solución particular; se le suman las soluciones de la ecuación homogénea $y' + ay = 0$.

Ejemplo

Resolver $3y' + 2y = 1$. Se divide entre $3$: $y' + \dfrac{2}{3}y = \dfrac{1}{3}$, con $a = \dfrac{2}{3}$ y $b = \dfrac{1}{3}$. Así $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$ y las soluciones son $f(x) = K\,e^{-\frac{2}{3}x} + \dfrac{1}{2}$ ($K \in \mathbb{R}$).

Método: solución con una condición inicial

Determinar la solución de $y' = -2y + 6$ tal que $y(0) = 1$.

1) $y' = -2y + 6 \iff y' + 2y = 6$: $a = 2$, $b = 6$, $\dfrac{b}{a} = 3$.

2) Las soluciones son $f(x) = K\,e^{-2x} + 3$.

3) $f(0) = K + 3 = 1$ luego $K = -2$: $f(x) = -2e^{-2x} + 3$.

Como $a = 2 > 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0$ y $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$: todas las soluciones se acercan a la solución constante.

Aplicación: ley de enfriamiento

Un objeto a $80$ °C se coloca en una habitación a $20$ °C. Su temperatura $\theta(t)$ (en °C, $t$ en minutos) verifica $\theta' = -0{,}05(\theta - 20)$, es decir $\theta' + 0{,}05\,\theta = 1$.

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20$, luego $\theta(t) = K\,e^{-0{,}05t} + 20$; $\theta(0) = 80$ da $K = 60$: $\theta(t) = 60\,e^{-0{,}05t} + 20$.