Primitives - Exercices
Exercice 1 : Vérifier une primitive
Dans chaque cas, vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle indiqué.
a) $F(x) = x^3 - 2x^2 + 7$ et $f(x) = 3x^2 - 4x$ sur $\mathbb{R}$
b) $F(x) = (x - 1)e^x$ et $f(x) = x\,e^x$ sur $\mathbb{R}$
c) $F(x) = x\ln x - x$ et $f(x) = \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$
Exercice 2 : Primitives de polynômes
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x) = x^3 - \dfrac{x}{2} + 1$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x) = (x + 1)(x - 3)$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 3 : Primitives usuelles
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $f(x) = \dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
b) $g(x) = 4e^x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x) = \dfrac{1}{x^4}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
d) $k(x) = \dfrac{5}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
Exercice 4 : Forme u'uⁿ
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $f(x) = 2(2x + 3)^4$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x) = (1 - 3x)^2$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x) = x(x^2 + 1)^3$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 5 : Formes u'eᵘ et u'/u
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $f(x) = e^{-2x + 1}$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x) = 3x^2 e^{x^3}$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x) = \dfrac{4}{4x + 1}$ sur $\left]-\dfrac{1}{4}\,;\,+\infty\right[$
d) $k(x) = \dfrac{x}{x^2 + 5}$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 6 : Formes u'/uⁿ et u'/√u
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $f(x) = \dfrac{1}{(x + 3)^2}$ sur $]-3\,;\,+\infty[$
b) $g(x) = \dfrac{6x}{(x^2 + 1)^3}$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$
Exercice 7 : Primitive vérifiant une condition
Déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant la condition donnée :
a) $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$ sur $\mathbb{R}$, $F(1) = 0$
b) $f(x) = e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$, $F(0) = 1$
c) $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$, $F(e) = 3$
Exercice 8 : Primitives et trigonométrie
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $f(x) = 3\cos x - 2\sin x$ sur $\mathbb{R}$
b) $g(x) = \sin(2x)$ sur $\mathbb{R}$
c) $h(x) = \cos\left(\dfrac{x}{3} + 1\right)$ sur $\mathbb{R}$
Exercice 9 : Recherche d'une primitive par identification
Soit $f(x) = (2x + 3)e^x$ sur $\mathbb{R}$. On cherche une primitive de la forme $F(x) = (ax + b)e^x$.
1) Calculer $F'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
2) En déduire $a$ et $b$ pour que $F$ soit une primitive de $f$.
Exercice 10 : Problème : vitesse et position
Un mobile se déplace sur un axe. Sa vitesse (en m/s) à l'instant $t$ (en s) est $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ et sa position $x(t)$ vérifie $x'(t) = v(t)$ avec $x(0) = 2$.
1) Déterminer $x(t)$.
2) Quelle est la position du mobile au bout de $4$ secondes ?
3) À quels instants la vitesse est-elle nulle ? Quelles sont alors les positions ?