Dérivation

I - Nombre dérivé et tangente

Définition 1 : On appelle, lorsqu'il existe, nombre dérivé de $f$ en $a$ le réel noté $f'(a)$ :$$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$On dit alors que $f$ est dérivable en $a$.

Remarque : $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ est le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ : c'est le coefficient directeur de la sécante passant par les points d'abscisses $a$ et $a + h$.

Propriété 1 : Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$ d'équation :$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Exemple : équation d'une tangente

$f(x) = x^2$ et $a = 3$ : $f(3) = 9$ et $f'(x) = 2x$ donc $f'(3) = 6$. La tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 6(x - 3) + 9$, soit $y = 6x - 9$.

II - Fonctions dérivées usuelles

Si $f$ est dérivable en tout réel d'un intervalle $I$, la fonction $f' : x \mapsto f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.

Propriété 2 :

Fonction	Dérivée	Dérivable sur
$k$ ($k \in \mathbb{R}$)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[$ ou $]0\,;\,+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$

III - Opérations sur les dérivées

Propriété 3 : $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $k$ est un réel :

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$u'\,v + u\,v'$
$\dfrac{1}{v}$ ($v \neq 0$)	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$ ($v \neq 0$)	$\dfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$

Méthode : dériver un produit

$f(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = \sqrt{x}$, $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$$f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$$

Méthode : dériver un quotient

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sur $]-2\,;\,+\infty[$ : $u(x) = 3x - 1$, $u'(x) = 3$, $v(x) = x + 2$, $v'(x) = 1$.

$$f'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$$

IV - Dérivées de fonctions composées

Propriété 4 : On suppose les conditions d'existence réunies :

Fonction	Dérivée
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$u^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,u'\,u^{n-1}$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$
$x \mapsto g(ax + b)$	$x \mapsto a\,g'(ax + b)$

Exemple

$f(x) = (3x - 2)^4$ : $f'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 2)^3 = 12(3x - 2)^3$.

$g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $g'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

$h(x) = e^{-2x + 5}$ : $h'(x) = -2\,e^{-2x + 5}$.

V - Dérivée et sens de variation

Propriété 5 :

Si $f' > 0$ sur $I$ (sauf éventuellement en des points isolés), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f' < 0$ sur $I$ (sauf éventuellement en des points isolés), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Propriété 6 : Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ (maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$, minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$).

Méthode : étudier les variations

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, qui s'annule en $-1$ et $1$.

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow & \\ \hline \end{array}$$

$f$ admet un maximum local $f(-1) = 3$ et un minimum local $f(1) = -1$.

Differentiation

I - Derivative at a point and tangent line

Definition 1 : The derivative of $f$ at $a$, when it exists, is the real number $f'(a)$:$$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$We then say that $f$ is differentiable at $a$.

Remark : $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ is the rate of change of $f$ between $a$ and $a + h$: it is the slope of the secant through the points with abscissas $a$ and $a + h$.

Property 1 : If $f$ is differentiable at $a$, the tangent to the curve of $f$ at the point with abscissa $a$ is the line with slope $f'(a)$ and equation:$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Example: equation of a tangent

$f(x) = x^2$ and $a = 3$: $f(3) = 9$ and $f'(x) = 2x$ so $f'(3) = 6$. The tangent at the point with abscissa $3$ has equation $y = 6(x - 3) + 9$, i.e. $y = 6x - 9$.

II - Usual derivatives

If $f$ is differentiable at every real number of an interval $I$, the function $f' : x \mapsto f'(x)$ is called the derivative of $f$.

Property 2 :

Function	Derivative	Differentiable on
$k$ ($k \in \mathbb{R}$)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[$ or $]0\,;\,+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$

III - Rules of differentiation

Property 3 : $u$ and $v$ are differentiable on $I$ and $k$ is a real number:

Function	Derivative
$u + v$	$u' + v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$u'\,v + u\,v'$
$\dfrac{1}{v}$ ($v \neq 0$)	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$ ($v \neq 0$)	$\dfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$

Method: differentiating a product

$f(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ on $]0\,;\,+\infty[$: $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = \sqrt{x}$, $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$$f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$$

Method: differentiating a quotient

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ on $]-2\,;\,+\infty[$: $u(x) = 3x - 1$, $u'(x) = 3$, $v(x) = x + 2$, $v'(x) = 1$.

$$f'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$$

IV - Derivatives of composite functions

Property 4 : Assuming the existence conditions are met:

Function	Derivative
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$u^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,u'\,u^{n-1}$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$
$x \mapsto g(ax + b)$	$x \mapsto a\,g'(ax + b)$

Example

$f(x) = (3x - 2)^4$ : $f'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 2)^3 = 12(3x - 2)^3$.

$g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $g'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

$h(x) = e^{-2x + 5}$ : $h'(x) = -2\,e^{-2x + 5}$.

V - Derivative and monotonicity

Property 5 :

If $f' > 0$ on $I$ (except possibly at isolated points), then $f$ is strictly increasing on $I$.
If $f' < 0$ on $I$ (except possibly at isolated points), then $f$ is strictly decreasing on $I$.
If $f' = 0$ on $I$, then $f$ is constant on $I$.

Property 6 : If $f'$ vanishes at $a$ and changes sign, then $f$ has a local extremum at $a$ (maximum if $f'$ goes from $+$ to $-$, minimum if it goes from $-$ to $+$).

Method: studying variations

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ on $\mathbb{R}$: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, which vanishes at $-1$ and $1$.

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow & \\ \hline \end{array}$$

$f$ has a local maximum $f(-1) = 3$ and a local minimum $f(1) = -1$.

Derivación

I - Derivada en un punto y recta tangente

Definición 1 : Se llama, cuando existe, derivada de $f$ en $a$ al número real $f'(a)$:$$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$Se dice entonces que $f$ es derivable en $a$.

Observación : $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ es la tasa de variación de $f$ entre $a$ y $a + h$: es la pendiente de la secante que pasa por los puntos de abscisas $a$ y $a + h$.

Propiedad 1 : Si $f$ es derivable en $a$, la tangente a la curva de $f$ en el punto de abscisa $a$ es la recta de pendiente $f'(a)$ de ecuación:$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Ejemplo: ecuación de una tangente

$f(x) = x^2$ y $a = 3$: $f(3) = 9$ y $f'(x) = 2x$ así que $f'(3) = 6$. La tangente en el punto de abscisa $3$ tiene por ecuación $y = 6(x - 3) + 9$, es decir $y = 6x - 9$.

II - Derivadas usuales

Si $f$ es derivable en todo real de un intervalo $I$, la función $f' : x \mapsto f'(x)$ se llama función derivada de $f$.

Propiedad 2 :

Función	Derivada	Derivable en
$k$ ($k \in \mathbb{R}$)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[$ o $]0\,;\,+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$

III - Operaciones con derivadas

Propiedad 3 : $u$ y $v$ son derivables en $I$ y $k$ es un número real:

Función	Derivada
$u + v$	$u' + v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$u'\,v + u\,v'$
$\dfrac{1}{v}$ ($v \neq 0$)	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$ ($v \neq 0$)	$\dfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$

Método: derivar un producto

$f(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ en $]0\,;\,+\infty[$: $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = \sqrt{x}$, $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$$f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$$

Método: derivar un cociente

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ en $]-2\,;\,+\infty[$: $u(x) = 3x - 1$, $u'(x) = 3$, $v(x) = x + 2$, $v'(x) = 1$.

$$f'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$$

IV - Derivadas de funciones compuestas

Propiedad 4 : Suponiendo que se cumplen las condiciones de existencia:

Función	Derivada
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$u^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$n\,u'\,u^{n-1}$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$
$x \mapsto g(ax + b)$	$x \mapsto a\,g'(ax + b)$

Ejemplo

$f(x) = (3x - 2)^4$ : $f'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 2)^3 = 12(3x - 2)^3$.

$g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $g'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

$h(x) = e^{-2x + 5}$ : $h'(x) = -2\,e^{-2x + 5}$.

V - Derivada y monotonía

Propiedad 5 :

Si $f' > 0$ en $I$ (salvo quizá en puntos aislados), entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$.
Si $f' < 0$ en $I$ (salvo quizá en puntos aislados), entonces $f$ es estrictamente decreciente en $I$.
Si $f' = 0$ en $I$, entonces $f$ es constante en $I$.

Propiedad 6 : Si $f'$ se anula en $a$ cambiando de signo, entonces $f$ tiene un extremo local en $a$ (máximo si $f'$ pasa de $+$ a $-$, mínimo si pasa de $-$ a $+$).

Método: estudiar la variación

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $\mathbb{R}$: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, que se anula en $-1$ y $1$.

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow & \\ \hline \end{array}$$

$f$ tiene un máximo local $f(-1) = 3$ y un mínimo local $f(1) = -1$.