Limites de suites - Exercices Limits of sequences - Exercises Límites de sucesiones - Ejercicios

Dans les trois cas, on obtient une forme indéterminée « $+\infty - \infty$ » : on factorise par le terme prépondérant.

a)

$n^3 - 4n^2 + 1 = n^3\left(1 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^3}\right)$ ; la parenthèse tend vers $1$ et $n^3 \to +\infty$.

$\lim (n^3 - 4n^2 + 1) = +\infty$

b)

$-2n^2 + 7n = n^2\left(-2 + \dfrac{7}{n}\right)$ ; la parenthèse tend vers $-2$.

$\lim (-2n^2 + 7n) = -\infty$

c)

$n - \sqrt{n} = \sqrt{n}\left(\sqrt{n} - 1\right)$ ; les deux facteurs tendent vers $+\infty$.

$\lim (n - \sqrt{n}) = +\infty$

Forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » : on factorise numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré.

a)

$\dfrac{4n - 1}{2n + 3} = \dfrac{n\left(4 - \frac{1}{n}\right)}{n\left(2 + \frac{3}{n}\right)} = \dfrac{4 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}} \to \dfrac{4}{2}$

limite $= 2$

b)

$\dfrac{n^2 + 1}{3n - 2} = \dfrac{n\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)}{3 - \frac{2}{n}}$ : le numérateur tend vers $+\infty$, le dénominateur vers $3$.

limite $= +\infty$

c)

$\dfrac{5n + 2}{n^2 + n + 1} = \dfrac{5 + \frac{2}{n}}{n\left(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}$ : le numérateur tend vers $5$, le dénominateur vers $+\infty$.

limite $= 0$

a)

$0 < 0{,}9 < 1$ donc $\lim 0{,}9^n = 0$.

limite $= 0$

b)

$2 > 1$ donc $\lim 2^n = +\infty$.

limite $= +\infty$

c)

$0 < \dfrac{1}{3} < 1$ donc $\lim \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$.

limite $= 4$

d)

$1{,}2 > 1$ donc $\lim 1{,}2^n = +\infty$ et, par produit par $-3$, $-3 \times 1{,}2^n \to -\infty$.

limite $= -\infty$

1)

Pour tout $n$, $-1 \leqslant \cos n \leqslant 1$ ; en divisant par $n^2 > 0$ : $-\dfrac{1}{n^2} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n^2}$.

Or $\lim \left(-\dfrac{1}{n^2}\right) = \lim \dfrac{1}{n^2} = 0$, donc d'après le théorème des gendarmes :

$\lim u_n = 0$

2)

$(-1)^n \geqslant -1$ donc $v_n \geqslant n - 1$. Or $\lim (n - 1) = +\infty$, donc par comparaison :

$\lim v_n = +\infty$

a)

$\lim (n + 1) = +\infty$ et $\lim \left(2 - \dfrac{1}{n}\right) = 2$ : par produit,

limite $= +\infty$

b)

Les deux facteurs tendent vers $3$ et $2$ : par produit,

limite $= 6$

c)

Le numérateur tend vers $-4$ et le dénominateur vers $2$ : par quotient,

limite $= -2$

Les trois limites sont des formes indéterminées : on factorise par le terme prépondérant.

a)

$\sqrt{n} - n = \sqrt{n}\left(1 - \sqrt{n}\right)$ avec $\sqrt{n} \to +\infty$ et $1 - \sqrt{n} \to -\infty$.

limite $= -\infty$

b)

$n - 3\sqrt{n} + 2 = n\left(1 - \dfrac{3}{\sqrt{n}} + \dfrac{2}{n}\right)$ ; la parenthèse tend vers $1$.

limite $= +\infty$

c)

$\dfrac{2\sqrt{n} + 1}{\sqrt{n} + 3} = \dfrac{2 + \frac{1}{\sqrt{n}}}{1 + \frac{3}{\sqrt{n}}} \to \dfrac{2}{1}$.

limite $= 2$

a)

$\dfrac{2^n + 1}{2^n} = 1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $\lim \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.

limite $= 1$

b)

Forme « $+\infty - \infty$ » : $3^n - 2^n = 3^n\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)$ ; la parenthèse tend vers $1$ et $3^n \to +\infty$.

limite $= +\infty$

c)

$\dfrac{4^n}{5^n} = 0{,}8^n$ avec $0 < 0{,}8 < 1$.

limite $= 0$

d)

$\dfrac{3^n + 1}{3^n - 1} = \dfrac{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n} \to \dfrac{1}{1}$.

limite $= 1$

1)

$(-1)^n \geqslant -1$ et $n \geqslant 0$ donc $(-1)^n\,n \geqslant -n$, d'où $u_n \geqslant n^2 - n$.

$n^2 - n = n^2\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \to +\infty$ ; par comparaison :

$\lim u_n = +\infty$

2)

$\sin n \leqslant 1$ donc $v_n \leqslant -n + 1$. Or $\lim (-n + 1) = -\infty$ ; par comparaison :

$\lim v_n = -\infty$

1)

$u_n = 2 + \dfrac{\cos n}{n}$ et $-1 \leqslant \cos n \leqslant 1$, donc $2 - \dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 2 + \dfrac{1}{n}$. Les deux bornes tendent vers $2$ :

$\lim u_n = 2$ (théorème des gendarmes)

2)

$-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$ donc $n - 1 \leqslant n + (-1)^n \leqslant n + 1$ ; en divisant par $n + 1 > 0$ : $\dfrac{n - 1}{n + 1} \leqslant w_n \leqslant 1$.

$\dfrac{n - 1}{n + 1} = \dfrac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \to 1$ ; d'après le théorème des gendarmes :

$\lim w_n = 1$

1)

Éliminer $30\,\%$ revient à multiplier par $0{,}7$ : $(q_n)$ est géométrique de raison $0{,}7$.

$q_n = 100 \times 0{,}7^n$

2)

$0 < 0{,}7 < 1$ donc $\lim 0{,}7^n = 0$.

$\lim q_n = 0$ : le médicament finit par être totalement éliminé

3)

$q_n < 1 \iff 0{,}7^n < 0{,}01$. À la calculatrice : $0{,}7^{12} \approx 0{,}0138$ et $0{,}7^{13} \approx 0{,}0097$.

Au bout de $13$ heures