La médiatrice d'un segment
1 - Définition
Définition 1 : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
La droite $(d)$ est la médiatrice du segment [AB] :
- elle passe par I, le milieu de [AB] (codage IA $=$ IB) ;
- elle est perpendiculaire à (AB) (codage de l'angle droit).
Tracé à l'équerre : on place le milieu I avec la règle graduée, puis on trace la perpendiculaire à (AB) passant par I.
2 - Propriété caractéristique de la médiatrice
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est à égale distance des extrémités de ce segment.
Propriété 2 : Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
- M est sur la médiatrice de [AB], donc MA $=$ MB (propriété 1).
- Si l'on sait que NA $=$ NB $= 5$ cm, alors N est sur la médiatrice de [AB] (propriété 2).
La médiatrice de [AB] est donc l'ensemble de tous les points équidistants de A et de B.
3 - Construction au compas et à la règle non graduée
Propriété 3 : Pour construire la médiatrice de [AB] sans règle graduée, il suffit de trouver deux points équidistants de A et de B, puis de tracer la droite qui passe par ces deux points.
- On prend un écartement de compas plus grand que la moitié de AB.
- On trace deux arcs de centre A, de part et d'autre de [AB].
- Avec le même écartement, on trace deux arcs de centre B. Ils coupent les premiers en E et F.
- EA $=$ EB et FA $=$ FB : la droite (EF) est la médiatrice de [AB].
Remarque : Cette construction donne aussi le milieu de [AB] sans règle graduée : c'est le point d'intersection de (EF) et de [AB]. Elle permet aussi de retrouver le centre d'un cercle : il est sur la médiatrice de chacune de ses cordes, donc à l'intersection des médiatrices de deux cordes.