Distances et segments
1 - Segment et distance entre deux points
Définition 1 : Le segment d'extrémités A et B est la portion de droite comprise entre A et B. On le note [AB].
Définition 2 : La distance entre les points A et B est la longueur du segment [AB]. On la note AB (sans crochets).
- [AB] désigne le segment (un objet que l'on trace) ;
- AB désigne sa longueur (un nombre) : AB $= 4$ cm.
2 - L'inégalité triangulaire
Propriété 1 : Pour tous points A, B et C : AC $+$ CB $\geqslant$ AB. Le chemin le plus court pour aller de A à B est le segment [AB].
Propriété 2 : AC $+$ CB $=$ AB si et seulement si le point C appartient au segment [AB].
- C n'est pas sur [AB] : AC $+$ CB $>$ AB.
- D est sur [AB] : AD $+$ DB $=$ AB.
Application : peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $8$ cm ? $3 + 4 = 7 < 8$ : non, les deux petits côtés ne « se rejoignent » pas.
Remarque : Pour savoir si un triangle est constructible, on compare la plus grande longueur à la somme des deux autres. Avec $3$ cm, $5$ cm et $8$ cm ($3 + 5 = 8$), les trois points sont alignés : le triangle est « aplati ».
3 - Milieu d'un segment
Définition 3 : Le milieu d'un segment [AB] est le point I du segment [AB] situé à la même distance de A et de B : I $\in$ [AB] et IA $=$ IB $= \dfrac{\text{AB}}{2}$.
Construction à la règle graduée : AB $= 5$ cm, donc on place I sur [AB] à $5 \div 2 = 2{,}5$ cm de A.
Les petits traits identiques (codage) indiquent des longueurs égales.
Remarque : Si IA $=$ IB mais que I n'est pas sur [AB], I n'est pas le milieu de [AB]. On verra qu'on peut aussi construire le milieu sans règle graduée, avec la médiatrice.